# 二维连续型分布

## 定义

若存在非负可积函数 $f(x,y)$，使

$$
F(x,y)=\int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{y}f(u,v)\,\mathrm dv\,\mathrm du,
$$

则称 $(X,Y)$ 为**二维连续型随机变量**，$f$ 称为**联合密度**。联合密度满足

$$
f(x,y)\ge 0,\qquad \iint_{\mathbb{R}^2} f(x,y)\,\mathrm dx\,\mathrm dy=1.
$$

对平面区域 $D$，

$$
P\{(X,Y)\in D\}=\iint_D f(x,y)\,\mathrm dx\,\mathrm dy.
$$

## 性质

计算区域概率可以按以下步骤进行：

1. **画出联合密度的支持区域**

   即 $f(x,y)>0$ 的点集。它由分段条件给出，通常是三角形、矩形或带边界的曲边区域。

2. **与事件区域取交集**

   把满足事件条件 $\{(x,y):\text{事件发生}\}$ 的区域和上一步的支持区域求交。只有交集上密度才不为零，积分也只在交集上做。

3. **确定积分次序**

   按交集区域的形状选择先对哪个变量积分，把边界用 $x$ 或 $y$ 表示清楚后再写积分限。

> [!IMPORTANT]
> 分布函数 $F(x,y)=\int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{y}f(u,v)\,\mathrm dv\,\mathrm du$ 的积分同样受支持区域约束。当 $(x,y)$ 落在支持区域内部时，真正的积分范围是 $(-\infty,x]\times(-\infty,y]$ 与支持区域的交集，不能机械地按矩形积分到 $x,y$。

## 例子

**三角形区域上的归一化与区域概率**

设

$$
f(x,y)=\begin{cases}
c,&0<x<y<1,\\
0,&\text{其他}.
\end{cases}
$$

支持区域是三角形 $0<x<y<1$。由归一化条件，

$$
1=c\int_0^1\int_0^y \mathrm dx\,\mathrm dy=c\int_0^1 y\,\mathrm dy=\frac c2,
$$

所以 $c=2$。

再求 $P\{X+Y<1\}$。事件区域 $x+y<1$ 与支持区域 $0<x<y<1$ 的交集是 $0<x<\dfrac12$、$x<y<1-x$：

$$
P\{X+Y<1\}
=\int_0^{1/2}\int_x^{1-x}2\,\mathrm dy\,\mathrm dx
=2\int_0^{1/2}(1-2x)\,\mathrm dx
=2\left[x-x^2\right]_0^{1/2}
=\frac12.
$$

## 交互探索

在单位正方形上的均匀联合密度下，改变事件区域并计算其面积。

交互演示：怎样把二维事件写成积分区域？。对单位正方形上的均匀联合密度，计算三角形事件区域的概率。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 设 $(X,Y)$ 的联合密度为

   $$
   f(x,y)=\begin{cases}
   c,&0<x<y<1,\\
   0,&\text{其他},
   \end{cases}
   $$

   则 $c=$ \_\_\_\_\_\_（triangle-c）。

   答案：2

   由归一化条件 $1=c\displaystyle\int_0^1\int_0^y \mathrm dx\,\mathrm dy=\frac c2$，得 $c=2$。

2. 仍设 $f(x,y)=2$（$0<x<y<1$），其他位置为 $0$。则 $P\{X+Y<1\}=$ \_\_\_\_\_\_（triangle-sum）。

   答案：0.5

   交集区域为 $0<x<\dfrac12$、$x<y<1-x$，积分得 $\displaystyle\int_0^{1/2}\int_x^{1-x}2\,\mathrm dy\,\mathrm dx=\frac12$。

3. 设 $(X,Y)$ 的联合密度为 $f(x,y)=cxy$（$0<x<1$，$0<y<1$），其他位置为 $0$，则 $c=$ \_\_\_\_\_\_（rectangle-c）。

   答案：4

   $\displaystyle\int_0^1\int_0^1 cxy\,\mathrm dy\,\mathrm dx=c\cdot\frac12\cdot\frac12=\frac c4=1$，所以 $c=4$。