# 二维离散型分布

## 定义

若 $X$、$Y$ 都只取有限个或可列个值，则称 $(X,Y)$ 为**二维离散型随机变量**。记

$$
p_{ij}=P\{X=x_i,\;Y=y_j\},\qquad i,j=1,2,\dots
$$

称为 $(X,Y)$ 的**联合分布律**，它必须满足

$$
p_{ij}\ge 0,\qquad \sum_i\sum_j p_{ij}=1.
$$

联合分布律通常列成二维表：固定 $i$ 是一行，固定 $j$ 是一列，表内每个单元格就是 $(X,Y)$ 取相应值对的概率。求某个事件的概率，就是把表内满足该条件的单元格相加。

例如求 $P\{X<Y\}$，应选出所有满足 $x_i<y_j$ 的单元格再相加，不能只比较行号与列号的大小：行、列的位置取决于取值的排列顺序，与取值大小无关。

## 交互探索

表中每一格是两个变量同时取值的概率。改变输入，比较联合概率与行列之和。

交互演示：联合概率怎样汇总为边缘概率？。调整两个零一变量的联合概率，并查看行和、列和。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 设 $(X,Y)$ 的联合分布律为

   | $X\backslash Y$ | $0$   | $1$   |
   | :-------------- | :---- | :---- |
   | $0$             | $0.1$ | $0.2$ |
   | $1$             | $0.3$ | $0.4$ |

   1. $P\{X<Y\}=$ \_\_\_\_\_\_（less-than-value）。

      答案：0.2

      满足 $x_i<y_j$ 的只有 $(0,1)$ 一格，概率为 $0.2$。

   2. $P\{X=Y\}=$ \_\_\_\_\_\_（equal-value）。

      答案：0.5

      满足 $x_i=y_j$ 的是 $(0,0)$ 与 $(1,1)$ 两格，概率相加：$0.1+0.4=0.5$。