# 联合分布函数

## 定义

对[随机向量](/knowledge/maths/probability/random-vector/) $\boldsymbol X=(X_1,\ldots,X_n)^{\mathsf T}$，定义其**联合分布函数**为

$$
F(x_1,\ldots,x_n)=P\{X_1\le x_1,\ldots,X_n\le x_n\},
\qquad (x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb R^n.
$$

右端是各分量同时满足阈值条件的概率。离散分布通过累加满足条件的联合概率求出；有联合密度时，对相应区域积分。

## 性质

$F$ 对每个坐标单调不减且右连续；任一坐标趋于 $-\infty$ 时 $F$ 趋于 $0$，所有坐标同时趋于 $+\infty$ 时趋于 $1$。多维分布函数还要求各矩形的概率增量非负，不能只检查逐坐标单调性。二维写法与矩形概率见[二维联合分布函数](/knowledge/maths/probability/bivariate-random-variable/)。

## 交互探索

改变二维例子中的两个阈值，累加同时满足条件的联合概率。

交互演示：联合分布函数会选中哪些联合结果？。改变两个阈值，累加满足两个条件的联合概率。 请在站点操作演示。