# 边缘分布

## 定义

设 $(X,Y)$ 是二维随机变量，联合分布函数为

$$
F(x,y)=P\{X\le x,\;Y\le y\}.
$$

若只关心 $X$，不对 $Y$ 作任何限制，则事件 $\{X\le x\}$ 就是 $\{X\le x,\;Y<+\infty\}$，于是

$$
F_X(x)=P\{X\le x\}=F(x,+\infty)=\lim_{y\to+\infty}F(x,y).
$$

$F_X$ 称为 $(X,Y)$ 关于 $X$ 的**边缘分布函数**，由它给出的分布称为 $X$ 的**边缘分布**。同理，

$$
F_Y(y)=F(+\infty,y)=\lim_{x\to+\infty}F(x,y)
$$

是 $Y$ 的边缘分布函数。

式中的 $+\infty$ 表示取极限，不是把 $+\infty$ 当作普通实数代入。边缘分布相当于不再对另一个变量施加限制：无论 $Y$ 取什么值都计入，只看 $X$ 落在哪个范围。离散型与连续型有各自的求法，见下文。

## 性质

### 离散型：按行、列求和

设 $(X,Y)$ 为离散型随机变量，联合分布律为

$$
p_{ij}=P\{X=x_i,\;Y=y_j\},\qquad i,j=1,2,\dots,
$$

行和与列和分别记作

$$
p_{i\cdot}=\sum_{j}p_{ij},\qquad p_{\cdot j}=\sum_{i}p_{ij}.
$$

事件 $\{X=x_i\}$ 可以按 $Y$ 的取值拆成互不相容的事件 $\{X=x_i,Y=y_j\}$ 的并，概率相加得

$$
P\{X=x_i\}=p_{i\cdot}=\sum_j p_{ij},\qquad
P\{Y=y_j\}=p_{\cdot j}=\sum_i p_{ij}.
$$

把联合分布律列成二维表时，行对应 $X$、列对应 $Y$，$P\{X=x_i\}$ 是整行之和，$P\{Y=y_j\}$ 是整列之和：

| $X\backslash Y$ | $0$   | $1$   | $P\{X=x\}$ |
| :-------------- | :---- | :---- | :--------- |
| $0$             | $0.2$ | $0.3$ | $0.5$      |
| $1$             | $0.1$ | $0.4$ | $0.5$      |
| $P\{Y=y\}$      | $0.3$ | $0.7$ | $1$        |

表中 $P\{X=0\}=0.2+0.3=0.5$，$P\{Y=1\}=0.3+0.4=0.7$；最右一列与最下一行分别是 $X$、$Y$ 的边缘分布，右下角为 $1$。边缘概率是整行或整列的和，不是表中某一格的联合概率。

### 连续型：积分消去另一变量

设 $(X,Y)$ 为连续型随机变量，联合密度为 $f(x,y)$，则边缘密度为

$$
f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\,\mathrm dy,\qquad
f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\,\mathrm dx.
$$

**求谁保留谁，另一个变量积分掉。** 公式中的上下限只是形式写法，实际范围由联合密度非零的区域（支持集）决定：固定保留变量后，被积掉的变量只能取支持集截出的那一段。支持集不是矩形时，积分限会依赖保留变量。

### 边缘分布能确定什么

联合分布能唯一确定边缘分布，反过来不成立：**边缘分布一般不能唯一确定联合分布**。边缘分布只记录每个变量各自取值的概率，没有保留两者之间的依赖关系。

因此，看到两个边缘分布相同，既不能断定联合分布相同，也不能断定两个变量独立。要还原联合分布，还需要条件分布，见[条件分布](/knowledge/maths/probability/conditional-distribution/)；具体反例见下面的例子。

> [!TIP]
> **检查边缘密度**
>
> 每个边缘密度应非负、在 $(-\infty,+\infty)$ 上积分为 $1$，并且自变量只剩一个。若结果里仍含被积分消去的变量，说明积分没有完成或上下限写错。

## 例子

**三角形区域上的两个边缘密度**

设联合密度为

$$
f(x,y)=\begin{cases}2,&0<x<y<1,\\0,&\text{其他}.\end{cases}
$$

求 $f_X(x)$ 时固定 $x$。支持条件 $0<x<y<1$ 要求 $0<x<1$，并进一步要求 $x<y<1$，所以

$$
f_X(x)=\int_x^1 2\,\mathrm dy=2(1-x),\qquad 0<x<1,
$$

其他位置 $f_X(x)=0$。求 $f_Y(y)$ 时固定 $y$：支持条件要求 $0<y<1$，并进一步要求 $0<x<y$，所以

$$
f_Y(y)=\int_0^y 2\,\mathrm dx=2y,\qquad 0<y<1,
$$

其他位置 $f_Y(y)=0$。

**相同的边缘分布，不同的联合分布**

设 $X$ 与 $Y$ 都以 $\frac12$ 的概率取 $1$ 和 $-1$。下面三种模型的两个边缘分布完全相同：

* $Y=X$：$(1,1)$ 与 $(-1,-1)$ 各占 $\frac12$，$P\{X=Y\}=1$；
* $Y=-X$：$(1,-1)$ 与 $(-1,1)$ 各占 $\frac12$，$P\{X=Y\}=0$；
* $X$ 与 $Y$ 独立：四个格各占 $\frac14$，$P\{X=Y\}=\frac12$。

三种模型的边缘分布都是 $P\{X=1\}=P\{X=-1\}=\frac12$ 与 $P\{Y=1\}=P\{Y=-1\}=\frac12$，联合分布却各不相同。只有第三种模型里两个变量独立。

## 交互探索

保持两个边缘分布不变，比较不同的联合分布。

交互演示：边缘分布相同，联合分布一定相同吗？。保持两个边缘分布固定，改变联合表中的概率。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 设 $(X,Y)$ 的联合分布律为 $P\{X=0,Y=0\}=0.2$，$P\{X=0,Y=1\}=0.3$，$P\{X=1,Y=0\}=0.1$，$P\{X=1,Y=1\}=0.4$。

   1. $P\{X=0\}=$ \_\_\_\_\_\_（x-zero-value）。

      答案：0.5

      固定 $X=0$，把 $Y$ 的两个取值对应的联合概率相加：$0.2+0.3=0.5$。

   2. $P\{Y=1\}=$ \_\_\_\_\_\_（y-one-value）。

      答案：0.7

      固定 $Y=1$，把 $X$ 的两个取值对应的联合概率相加：$0.3+0.4=0.7$。

2. 设 $f(x,y)=2$（$0<x<y<1$），其他位置 $f(x,y)=0$。

   1. $f_X\left(\frac12\right)=$ \_\_\_\_\_\_（fx-value）。

      答案：1

      由 $f_X(x)=2(1-x)$，代入 $x=\frac12$ 得 $1$。

   2. 求 $f_X(x)$ 时固定 $x$ 后，$y$ 的积分范围是

      * A.  $x$ 到 $1$
      * B.  $0$ 到 $1$
      * C.  $0$ 到 $x$
      * D.  $x$ 到 $+\infty$

      答案：A

      支持条件 $0<x<y<1$ 在固定 $x\in(0,1)$ 后只剩 $x<y<1$。

3. 关于边缘分布，下列说法正确的有

   * A.  联合分布能唯一确定边缘分布
   * B.  边缘分布能唯一确定联合分布
   * C.  边缘分布没有保留两个变量之间的依赖关系
   * D.  两个变量的边缘分布相同，就能断定它们独立

   答案：A、C

   由联合分布求和或积分即可得到边缘分布，所以A正确；反过来不成立，B、D都错。边缘分布只保留各自取值的概率，依赖关系已经丢失。