# 矩

矩把期望、方差以及偏斜、峰度统一成同一类数字特征。本页沿用 $D(X)$ 表示方差、$\operatorname{Cov}(X,Y)$ 表示协方差，并默认所涉及的绝对矩都存在，以保证相应期望有限。

## 定义

当 $E(|X|^k)<+\infty$ 时，称

$$
\mu_k'=E(X^k)
$$

为 $X$ 的 **$k$ 阶原点矩**，称

$$
\mu_k=E\bigl[(X-E(X))^k\bigr]
$$

为 $X$ 的 **$k$ 阶中心矩**。一阶、二阶矩是最常用的：

$$
\mu_1'=E(X),\qquad \mu_1=0,\qquad \mu_2=D(X).
$$

由二项式展开，中心矩可以用原点矩换算。常用的两条是

$$
\mu_2=\mu_2'-(\mu_1')^2,
$$

$$
\mu_3=\mu_3'-3\mu_1'\mu_2'+2(\mu_1')^3.
$$

**证明**

记 $\mu=\mu_1'$。由期望的线性性质，

$$
E\bigl[(X-\mu)^2\bigr]=E(X^2)-2\mu E(X)+\mu^2=\mu_2'-(\mu_1')^2,
$$

$$
\begin{aligned}
E\bigl[(X-\mu)^3\bigr]
&=E(X^3)-3\mu E(X^2)+3\mu^2E(X)-\mu^3\\
&=\mu_3'-3\mu_1'\mu_2'+3(\mu_1')^3-(\mu_1')^3
=\mu_3'-3\mu_1'\mu_2'+2(\mu_1')^3.
\end{aligned}
$$

三阶中心矩反映分布偏斜的方向。当 $\sigma>0$ 时，把它标准化，得到**偏度**

$$
\gamma_1=\frac{\mu_3}{\sigma^3},
$$

其中 $\sigma=\sqrt{D(X)}$。四阶中心矩用于衡量尾部的厚重程度，常用的指标是**超额峰度**

$$
\gamma_2=\frac{\mu_4}{\sigma^4}-3.
$$

正态分布的超额峰度为 $0$。若把 $\mu_4/\sigma^4$ 定义为峰度，则正态分布的峰度为 $3$；使用前要先看清采用哪一种定义。

### 混合矩

对二维随机变量 $(X,Y)$，称 $E(X^kY^l)$ 为 **$k+l$ 阶混合原点矩**，称

$$
E\bigl[(X-E(X))^k(Y-E(Y))^l\bigr]
$$

为 **$k+l$ 阶混合中心矩**。取 $k=l=1$，混合中心矩就是协方差

$$
\operatorname{Cov}(X,Y)=E\bigl[(X-E(X))(Y-E(Y))\bigr].
$$

计算混合矩必须使用联合分布，对联合分布律求和或对联合密度积分。只有 $X$ 与 $Y$ 独立时才能把 $E(X^kY^l)$ 拆成 $E(X^k)E(Y^l)$；缺少独立性时不能拆开。

## 例子

**对称三点分布的矩**

设 $X$ 以等概率取 $-1$、$0$、$1$。则 $E(X)=0$，且

$$
E(X^2)=\frac{1+0+1}{3}=\frac23,\qquad
E(X^3)=\frac{-1+0+1}{3}=0,\qquad
E(X^4)=\frac{1+0+1}{3}=\frac23.
$$

中心矩与原点矩相同：$\mu_2=\dfrac23$，$\mu_3=0$，所以偏度 $\gamma_1=0$，分布左右对称。超额峰度为

$$
\gamma_2=\frac{\mu_4}{\sigma^4}-3=\frac{2/3}{4/9}-3=\frac32-3=-\frac32.
$$

负的超额峰度说明这个分布的尾部比正态分布轻，取值被限制在三个点上。

**边缘相同，混合矩不同**

设 $X$、$Y$ 都等概率取 $-1$、$1$，两个边缘分布相同。若 $X$ 与 $Y$ 独立，四个组合各占 $\dfrac14$，则

$$
E(XY)=\frac14(1-1-1+1)=0.
$$

若让联合分布只落在对角线上，即 $P\{X=Y=1\}=P\{X=Y=-1\}=\dfrac12$，边缘分布仍然是各取 $\pm1$ 的概率为 $\dfrac12$，但此时

$$
E(XY)=\frac12(1)+\frac12(1)=1.
$$

两个联合分布的边缘完全相同，混合矩却不同，说明 $E(XY)$ 由联合分布决定，不能只从两个边缘分布推出。

## 交互探索

改变两点分布的概率，比较原点矩与中心矩。

交互演示：原点矩与中心矩怎样随分布变化？。改变两点分布的权重，比较原点矩和三阶中心矩。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 已知 $E(X)=2$，$E(X^2)=5$，则 $D(X)=$ \_\_\_\_\_\_（second-central-value）。

   答案：1

   $D(X)=\mu_2=E(X^2)-[E(X)]^2=5-4=1$。

2. 已知 $\mu_1'=2$，$\mu_2'=10$，则二阶中心矩 $\mu_2=$ \_\_\_\_\_\_（central-from-raw-value）。

   答案：6

   由 $\mu_2=\mu_2'-(\mu_1')^2=10-2^2=6$。

3. 设 $X$ 与 $Y$ 相互独立，$E(X^2)=5$，$E(Y)=3$，则 $E(X^2Y)=$ \_\_\_\_\_\_（mixed-independent-value）。

   答案：15

   独立时 $E(X^2Y)=E(X^2)E(Y)=5\times3=15$。若两者不独立，这个拆分不成立，必须回到联合分布计算。

4. 正态分布的超额峰度 $\gamma_2=\mu_4/\sigma^4-3$ 等于 \_\_\_\_\_\_（excess-kurtosis-value）。

   答案：0

   正态分布的 $\mu_4/\sigma^4=3$，减去 $3$ 后超额峰度为 $0$。若采用不减去 $3$ 的峰度定义，则数值是 $3$，两者不能混用。