# 多元正态分布

## 定义

若 $\boldsymbol X$ 的任意线性组合 $\sum_i a_iX_i$ 都是正态变量或常数，则称 $\boldsymbol X$ 服从**多元正态分布**，记作

$$
\boldsymbol X\sim N_n(\boldsymbol\mu,\Sigma),
$$

其中 $\boldsymbol\mu=(E X_1,\ldots,E X_n)^{\mathsf T}$ 是均值向量，$\Sigma=\bigl(\operatorname{Cov}(X_i,X_j)\bigr)_{n\times n}$ 是协方差矩阵。

## 性质

对二维非退化情形，设 $\sigma_1,\sigma_2>0$、$|\rho|<1$，联合密度为

$$
\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}
\exp\left(-\frac{1}{2(1-\rho^2)}
\left[
\frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}
-2\rho\frac{(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2}
+\frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}
\right]\right).
$$

此时两个边缘分布都是正态分布，条件分布也是正态分布：

$$
X\mid Y=y\sim N\left(\mu_1+\rho\frac{\sigma_1}{\sigma_2}(y-\mu_2),\ \sigma_1^2(1-\rho^2)\right).
$$

条件均值关于 $y$ 是线性的，条件方差与 $y$ 无关，只与 $\rho$ 和 $\sigma_1^2$ 有关。

> [!IMPORTANT]
> **两条容易混淆的性质**
>
> 联合正态向量各分量两两不相关，就相互独立，这是多元正态特有的性质，不能推广到一般的随机向量。反过来，仅知道各分量的边缘分布都是正态，不能推出联合分布是多元正态，因此也不能由相关系数为零推出两个变量独立。

> [!CAUTION]
> $|\rho|=1$ 时协方差矩阵退化，$(X,Y)$ 以概率 $1$ 落在一条直线上，上面的二维密度不存在，条件密度公式也不再适用。

## 例子

**二维正态的条件分布**

设 $(X,Y)$ 服从二维正态分布，$\mu_1=\mu_2=0$，$\sigma_1=2$，$\sigma_2=1$，$\rho=0.5$。给定 $Y=y$ 时，

$$
X\mid Y=y\sim N\left(0.5\times\frac{2}{1}(y-0),\ 2^2(1-0.5^2)\right)=N(y,\ 3).
$$

条件均值随 $y$ 线性变化，条件方差恒为 $3$。$y$ 每增大 $1$，$X$ 的条件均值也增大 $1$，这是 $\rho$ 接近 $1$ 时的正向联动。

## 交互探索

两个分量均为标准正态时，调整相关系数与已知的 $Y$ 值，比较 $X$ 的条件均值和条件方差。

交互演示：给定一个正态分量后，另一个如何变化？。调整相关系数和条件值，查看二维标准正态的条件分布。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 设 $(X,Y)$ 服从二维正态分布，且 $\sigma_1>0$、$\sigma_2>0$、$|\rho|<1$。下列说法正确的是

   * A.  $\rho=0$ 时 $X$ 与 $Y$ 相互独立
   * B.  只要 $X$、$Y$ 各自服从正态分布，$(X,Y)$ 就服从二维正态分布
   * C.  $\rho=1$ 时仍有上述二维密度
   * D.  联合正态时，$X$ 与 $Y$ 不相关不能推出相互独立

   答案：A

   联合正态向量中两两不相关与相互独立等价，所以 $\rho=0$ 时两个分量独立。边缘分布都是正态不能保证联合正态（选项B错）；$|\rho|=1$ 时协方差矩阵退化，没有二维密度（选项C错）；联合正态下不相关确实能推出独立（选项D错）。