# 正态分布

## 定义

设 $\sigma>0$，$X\sim N(\mu,\sigma^2)$。密度为

$$
f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left[-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right],
\qquad -\infty<x<+\infty.
$$

## 性质

曲线关于 $x=\mu$ 对称，并在 $x=\mu$ 处达到最大值；数字特征为

$$
E(X)=\mu,\qquad D(X)=\sigma^2.
$$

标准正态分布 $N(0,1)$ 的密度与分布函数记作

$$
\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2},
\qquad
\Phi(x)=\int_{-\infty}^{x}\varphi(t)\,\mathrm dt.
$$

**标准化**：若 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$，则

$$
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1),
\qquad
F(x)=\Phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right).
$$

因此

$$
P\{a<X\le b\}
=\Phi\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right).
$$

由对称性 $\Phi(-z)=1-\Phi(z)$，特别地

$$
P\{|X-\mu|<c\}=2\Phi\left(\frac{c}{\sigma}\right)-1\qquad(c>0).
$$

> [!NOTE]
> **三个常用概率**
>
> 约 $68.27\%$、$95.45\%$、$99.73\%$ 的概率分别落在 $\mu\pm\sigma$、$\mu\pm2\sigma$、$\mu\pm3\sigma$ 内。

> [!CAUTION]
> $N(\mu,\sigma^2)$ 的第二个参数是**方差**，标准化时除以标准差 $\sigma$，不是 $\sigma^2$。查表前先算出 $z=(x-\mu)/\sigma$。

### 独立正态变量的线性组合

若 $X_i\sim N(\mu_i,\sigma_i^2)$ 相互独立，则 $\sum_i a_iX_i+b$ 的均值为 $\sum_i a_i\mu_i+b$，方差为 $\sum_i a_i^2\sigma_i^2$。方差大于零时，它服从以这两个量为参数的正态分布；方差为零时，它是常数。

## 例子

**正态分布的标准化**

设 $X\sim N(1,4)$，即 $\mu=1$，$\sigma=\sqrt4=2$。则

$$
P\{0<X<3\}
=\Phi\left(\frac{3-1}{2}\right)-\Phi\left(\frac{0-1}{2}\right)
=\Phi(1)-\Phi(-0.5)
=\Phi(1)+\Phi(0.5)-1.
$$

**独立正态变量的线性组合**

设 $X\sim N(0,1)$，$Y\sim N(1,4)$ 且相互独立，令 $Z=X-2Y$。正态变量的线性组合仍为正态变量，均值和方差分别为

$$
E(Z)=0-2\times1=-2,\qquad
\operatorname{Var}(Z)=1^2\times1+(-2)^2\times4=17,
$$

所以 $Z\sim N(-2,17)$。这里系数 $a_1=1$、$a_2=-2$，方差按系数的平方加权，负号不影响方差。

## 交互探索

改变均值和标准差，比较曲线位置、形状与给定标准差范围内的概率。

交互演示：\$\mu\$ 与 \$\sigma\$ 怎样改变正态曲线？。移动均值和缩放标准差，观察正态密度和区间概率。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 设 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$，则 $\dfrac{X-\mu}{\sigma}$ 服从

   * A.  $N(0,1)$
   * B.  $N(\mu,\sigma^2)$
   * C.  $N(0,\sigma^2)$
   * D.  $N(\mu,1)$

   答案：A

   减去均值再除以标准差，把分布平移到中心 $0$ 并缩放到标准差 $1$，得到标准正态分布。

2. 设 $X\sim N(0,1)$，$Y\sim N(1,4)$，且 $X$ 与 $Y$ 相互独立。令 $Z=X-2Y$。

   1. $E(Z)=$ \_\_\_\_\_\_（mean-value）。

      答案：-2

      期望是线性的：$E(Z)=E(X)-2E(Y)=0-2\times1=-2$。

   2. $\operatorname{Var}(Z)=$ \_\_\_\_\_\_（variance-value）。

      答案：17

      独立正态变量的线性组合方差为 $\sum a_i^2\sigma_i^2=1^2\times1+(-2)^2\times4=1+16=17$。