# 泊松分布

## 定义

若随机变量 $X$ 的概率为

$$
P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!},\qquad k=0,1,2,\ldots,\quad \lambda>0,
$$

则称 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布。它可用于符合泊松过程假设的固定时间或空间区间内的事件计数；仅仅观察到计数并不足以推出模型成立。

## 性质

$E(X)=D(X)=\lambda$。若 $n\to\infty$、$p\to0$ 且 $np\to\lambda$，二项分布的每个固定取值的概率趋于对应的泊松概率。

### 独立泊松变量之和

若 $X_i\sim P(\lambda_i)$ 相互独立，则 $\sum_iX_i\sim P(\sum_i\lambda_i)$。

## 例子

**二项分布的泊松近似：$X\sim B(1000,0.002)$**

这里 $n=1000$ 较大，$p=0.002$ 较小，$\lambda=np=2$ 适中，可以用 $P(2)$ 近似。于是

$$
P\{X=0\}\approx e^{-2}\frac{2^0}{0!}=e^{-2}\approx 0.1353,
$$

$$
P\{X\ge 1\}=1-P\{X=0\}\approx 1-e^{-2}\approx 0.8647.
$$

## 交互探索

改变 $\lambda$ 和次数 $k$，查看点概率 $P(X=k)$。

交互演示：恰好发生指定次数的概率是多少？。改变泊松分布参数与事件次数，计算对应的概率。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 用泊松分布近似二项分布 $B(n,p)$ 时，需要检查的条件包括

   * A.  $n$ 较大
   * B.  $p$ 较小
   * C.  $\lambda=np$ 适中
   * D.  $n$ 与 $p$ 都接近 $1/2$

   答案：A、B、C

   泊松近似要求试验次数多、单次成功概率小，而 $np$ 保持在可用泊松表的范围内；$p$ 接近 $1/2$ 时二项分布接近对称，不适合用泊松分布近似。

2. 设 $X\sim P(2)$，$Y\sim P(3)$，且 $X$ 与 $Y$ 相互独立。

   1. $X+Y$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布，$\lambda=$ \_\_\_\_\_\_（lambda-value）。

      答案：5

      独立泊松变量之和仍为泊松变量，参数相加：$\lambda=2+3=5$。