# 概率公理

## 公理

设 $\Omega$ 是样本空间。对每个事件 $A\subseteq\Omega$ 赋予一个实数 $P(A)$，称为事件 $A$ 的**概率**。它满足以下三条公理：

1. **非负性**：$P(A)\ge 0$；
2. **规范性**：$P(\Omega)=1$；
3. **可列可加性**：若 $A_1,A_2,\ldots$ 两两互斥，即 $A_iA_j=\varnothing\ (i\ne j)$，则

$$
P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\right)=\sum_{i=1}^{\infty}P(A_i).
$$

公理只规定这三条，其余性质都由它们推出。

## 基本性质

由公理可直接得到：

* $P(\varnothing)=0$；
* $P(\bar A)=1-P(A)$；
* $0\le P(A)\le 1$。

概率还具有单调性：若 $A\subseteq B$，则 $P(A)\le P(B)$，并且

$$
P(B-A)=P(B)-P(A).
$$

去掉包含条件后，差事件的公式写成

$$
P(A-B)=P(A)-P(AB).
$$

这是因为 $A-B=A\cap\bar B$ 与 $AB$ 互斥，且它们的并是 $A$。

### 加法公式

对任意两个事件 $A$ 与 $B$，

$$
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB).
$$

对三个事件，容斥公式为

$$
\begin{aligned}
P(A\cup B\cup C)
={}&P(A)+P(B)+P(C)\\
&-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC).
\end{aligned}
$$

## 证明

先证 $P(\varnothing)=0$。在可列可加性中取 $A_1=\Omega$，$A_k=\varnothing\ (k\ge 2)$，这些事件两两互斥且并为 $\Omega$，于是

$$
1=P(\Omega)=P(\Omega)+\sum_{k=2}^{\infty}P(\varnothing),
$$

所以 $P(\varnothing)=0$。

有了这一条，可列可加性就给出有限可加性：若 $A_1,\ldots,A_n$ 两两互斥，把 $A_{n+1},A_{n+2},\ldots$ 都取为 $\varnothing$，则

$$
P\left(\bigcup_{i=1}^{n}A_i\right)=\sum_{i=1}^{n}P(A_i).
$$

再证加法公式。事件 $B$ 可以拆成两个互斥事件之并：

$$
B=AB\cup(B-AB).
$$

由有限可加性，

$$
P(B)=P(AB)+P(B-AB),
$$

即 $P(B-AB)=P(B)-P(AB)$。另一方面，$A\cup B$ 也可以拆成互斥的 $A$ 与 $B-AB$：

$$
A\cup B=A\cup(B-AB).
$$

再次使用有限可加性，

$$
P(A\cup B)=P(A)+P(B-AB)=P(A)+P(B)-P(AB).
$$

## 例子

设 $P(A)=0.5$、$P(B)=0.4$、$P(AB)=0.2$，则加法公式给出 $P(A\cup B)=0.5+0.4-0.2=0.7$。交集在前两项中各计算了一次，需要减去一次。

## 使用条件

概率为零不一定是不可能事件；例如在 $[0,1]$ 上均匀取点，恰好取到 $1/2$ 的概率为零，但这个点仍属于样本空间。

## 交互探索

通过面积比较 $P(A)$、$P(B)$ 与交集，检查加法公式如何避免重复计算。

交互演示：为什么计算并事件要减去交集？。改变事件及其重叠的概率，对照加法公式。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 设 $P(A)=0.5$，$P(B)=0.4$，$P(AB)=0.2$。

   1. $P(A\cup B)=$ \_\_\_\_\_\_（union-value）。

      答案：0.7

      由加法公式，$P(A\cup B)=0.5+0.4-0.2=0.7$。

   2. $P(\bar A)=$ \_\_\_\_\_\_（complement-value）。

      答案：0.5

      $P(\bar A)=1-P(A)=1-0.5=0.5$。

   3. $P(A-B)=$ \_\_\_\_\_\_（difference-value）。

      答案：0.3

      $P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.5-0.2=0.3$。

2. 下列关于概率的叙述，哪些正确？

   * A.  概率为零的事件一定是不可能事件
   * B.  概率为一的事件一定是必然事件
   * C.  若 $A\subseteq B$，则 $P(A)\le P(B)$
   * D.  对任意事件 $A$，$P(\bar A)=1-P(A)$

   答案：C、D

   连续型情形中，概率为零的事件仍可能发生，概率为一的事件也可能不发生，所以前两条不成立。单调性与补事件公式由公理推出。

3. 在什么条件下可以直接使用 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$？

   * A.  $A$ 与 $B$ 互斥
   * B.  $A$ 与 $B$ 相互独立
   * C.  $A\subseteq B$
   * D.  对任意事件都成立

   答案：A

   互斥时 $AB=\varnothing$，$P(AB)=0$，加法公式中的交事件项消失。独立性不保证 $P(AB)=0$。