# 随机事件

## 定义

设随机试验的[样本空间](/knowledge/maths/probability/sample-space/)为 $\Omega$。随机事件是样本空间的子集。设 $A\subseteq\Omega$，若试验结果 $\omega\in A$，就说事件 $A$ 发生。$\Omega$ 本身称为**必然事件**，空集 $\varnothing$ 称为**不可能事件**。

## 性质

### 事件的关系与运算

设 $A$ 与 $B$ 是同一个试验中的事件。

| 记号                | 名称   | 含义                              |
| :---------------- | :--- | :------------------------------ |
| $A\subseteq B$    | 包含   | $A$ 发生必有 $B$ 发生                 |
| $A=B$             | 相等   | $A\subseteq B$ 且 $B\subseteq A$ |
| $A\cup B$         | 和事件  | $A$ 与 $B$ 至少有一个发生               |
| $A\cap B=AB$      | 积事件  | $A$ 与 $B$ 同时发生                  |
| $A-B=A\cap\bar B$ | 差事件  | $A$ 发生而 $B$ 不发生                 |
| $\bar A=\Omega-A$ | 对立事件 | $A$ 不发生                         |

若 $AB=\varnothing$，称 $A$ 与 $B$ **互斥**（或不相容），即两者不能同时发生。若互斥之外还要求 $A\cup B=\Omega$，则称 $A$ 与 $B$ **对立**：两者不能同时发生，且必有一个发生。因此对立一定互斥，互斥未必对立。

对多个事件 $A_1,A_2,\ldots,A_n$，常用以下表示：

* 至少一个发生：$\bigcup_i A_i$；
* 全部发生：$\bigcap_i A_i$；
* 一个都不发生：$\bigcap_i\bar A_i=\overline{\bigcup_iA_i}$；
* 恰有一个发生：$\bigcup_i\left(A_i\cap\bigcap_{j\ne i}\bar A_j\right)$。

### 运算律

事件的交换律、结合律、分配律与集合运算相同。特别常用的是**德摩根律**：

$$
\overline{A\cup B}=\bar A\cap\bar B,\qquad
\overline{A\cap B}=\bar A\cup\bar B.
$$

多个事件的情形同样成立：并事件的补等于各补事件的交，交事件的补等于各补事件的并。

概率的记号与计算见[概率公理](/knowledge/maths/probability/probability-axioms/)。求“至少一次”的概率，常转化为

$$
P(\text{至少一次})=1-P(\text{一次也没有}).
$$

求“恰好一次”的概率时，要把各互斥情形分别写出再相加，不能直接使用 $A\cup B$。

## 例子

**掷一枚骰子**

掷一枚均匀骰子，样本空间为

$$
\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}.
$$

“出现偶数点”是事件 $A=\{2,4,6\}$。若掷出 $4$，则 $4\in A$，事件 $A$ 发生；若掷出 $5$，则 $5\notin A$，事件 $A$ 不发生。

**掷两枚可区分的骰子**

掷两枚可区分的骰子时，样本空间由 $36$ 个有序对组成：

$$
\Omega=\{(i,j):i,j=1,2,\ldots,6\}.
$$

每个有序对是一个样本点。若只记录点数和，和 $2$ 与和 $7$ 会被当成同样基本的结果，但它们的出现方式数并不相同，不能把这些点数和当作等可能结果。

> [!IMPORTANT]
> 样本点应覆盖所关心的结果。如果希望按等可能结果计数，掷两枚可区分的均匀骰子时可用有序对 $(i,j)$；各个点数和并不等可能。

**恰有一个发生与至少一个发生**

两事件 $A$ 与 $B$ 中“恰有一个发生”为

$$
A\bar B\cup\bar AB,
$$

而“至少一个发生”为 $A\cup B$。后者还包含 $AB$，所以两者不是同一个事件，概率一般也不相等。

## 交互探索

选取骰子点数，分别组成事件 $A$ 和 $B$。并集包含至少属于一个事件的点数，交集只包含同时属于两个事件的点数。

交互演示：哪些点数属于并集和交集？。选择骰子的点数，比较两个事件的并集与交集。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 掷一枚骰子，$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$，令 $A=\{2,4,6\}$，$B=\{1,2,3\}$。

   1. $A\cup B$ 含有的样本点个数为 \_\_\_\_\_\_（union-count）。

      答案：5

      $A\cup B=\{1,2,3,4,6\}$，共 $5$ 个样本点。

   2. $A$ 与 $B$ 是否互斥？

      * A.  互斥
      * B.  不互斥

      答案：B

      两个事件都含样本点 $2$，因此 $AB=\{2\}\ne\varnothing$，不互斥。

   3. $A-B$ 含有的样本点个数为 \_\_\_\_\_\_（difference-count）。

      答案：2

      差事件表示 $A$ 发生而 $B$ 不发生，$A-B=\{4,6\}$，共 $2$ 个样本点。

2. 掷两枚可区分的骰子，为了能用等可能样本点计数，样本点应取为：

   * A.  两枚骰子的点数和
   * B.  有序对 $(i,j)$
   * C.  无序对 $\{i,j\}$
   * D.  两枚骰子中较大的点数

   答案：B

   有序对 $(i,j)$ 才能把 $36$ 种结果区分开；点数和、无序对和较大点数都会把多个结果合并，破坏等可能性。

3. $\overline{A\cup B}$ 等于：

   * A.  $\bar A\cup\bar B$
   * B.  $\bar A\cap\bar B$
   * C.  $A\cap B$
   * D.  $A-B$

   答案：B

   由德摩根律，并事件的补等于各补事件的交。

4. 两事件 $A$ 与 $B$ 中“恰有一个发生”表示为：

   * A.  $A\cup B$
   * B.  $AB$
   * C.  $A\bar B\cup\bar AB$
   * D.  $\bar A\bar B$

   答案：C

   $A\bar B$ 表示 $A$ 发生且 $B$ 不发生，$\bar AB$ 表示 $B$ 发生且 $A$ 不发生，两者互斥，并起来正是恰有一个发生。

5. 求“至少发生一次”的概率时，常用的转化是：

   * A.  $1-P(\text{一次也没有})$
   * B.  $P(\text{一次也没有})$
   * C.  $P(\text{恰好一次})$
   * D.  各次概率直接相加

   答案：A

   “至少一次”与“一次也没有”互为对立事件。各次概率直接相加只适用于各次事件互斥的情形。