# 串并联系统的可靠性

## 定义

设系统由 $n$ 个元件组成，各元件是否正常相互独立，第 $i$ 个元件正常的概率为 $p_i$。把“系统工作”写成元件状态的交事件或它的对立事件，就能直接套用独立性的乘法公式。

* **串联系统**：所有元件都正常时系统才工作，因此
  $$
  P(\text{系统工作})=\prod_{i=1}^{n}p_i.
  $$
* **并联系统**：至少一个元件正常时系统就工作。用对立事件“全部失效”计算：
  $$
  P(\text{系统工作})=1-\prod_{i=1}^{n}(1-p_i).
  $$

串联系统把各元件的可靠概率相乘，并联系统则把各元件的失效概率相乘后取补。混合结构先分解成串联、并联子块，再逐块套用这两条公式。

> [!CAUTION]
> **独立性必须由模型或题设给出**
>
> “来自同一批”“同时工作”“随机抽取”都不能单独作为元件独立的依据。串联、并联公式以及独立重复试验的乘法公式，都只在独立性成立时才能使用。

## 例子

**串联与并联的可靠概率**

两个元件相互独立，正常的概率分别为 $p_1=0.9$、$p_2=0.8$。

串联时两个元件都要正常：

$$
P(\text{工作})=0.9\times0.8=0.72.
$$

并联时至少一个正常，用对立事件“两个都失效”：

$$
P(\text{工作})=1-(1-0.9)(1-0.8)=1-0.1\times0.2=0.98.
$$

## 交互探索

假设各元件独立且有相同的工作概率。改变元件个数和单个元件的可靠性，比较全部正常与至少一个正常的概率。

交互演示：串联和并联系统的可靠性怎样比较？。比较独立同可靠性元件组成的串并联系统。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 三个元件相互独立，每个元件正常的概率都是 $0.9$。

   1. 三者串联时系统工作的概率为 \_\_\_\_\_\_（series-value）。

      答案：0.729

      串联要求全部正常，概率为 $0.9^3=0.729$。

   2. 三者并联时系统工作的概率为 \_\_\_\_\_\_（parallel-value）。

      答案：0.999

      并联用对立事件“全部失效”：$1-(1-0.9)^3=1-0.001=0.999$。