# 全概率公式

## 公式

设 $B_1,\ldots,B_n$ 是[完备事件组](/knowledge/maths/probability/event-partition/)，且 $P(B_i)>0$。对任意事件 $A$，

$$
P(A)=\sum_{i=1}^{n}P(B_i)P(A\mid B_i).
$$

每一项是交事件 $AB_i$ 的概率；这些交事件互斥且合起来是 $A$，因此可以相加。公式从不同来源的比例和各来源内的发生率求总概率。若某个来源概率为零，其交事件概率也为零，可以去掉该项；不能在分母为零时直接使用条件概率。

## 例子

**两条生产线的次品率**

甲线占产量的 $70\%$，次品率为 $2\%$；乙线占 $30\%$，次品率为 $6\%$。两种来源构成完备事件组，任取一件产品是次品的概率为

$$
0.7\times0.02+0.3\times0.06=0.032.
$$

## 交互探索

调整两个来源所占比例和各自的发生率，深色面积表示结果事件。总概率是两块深色面积之和。

交互演示：两个来源怎样贡献总概率？。用面积比较两个来源下的结果概率及其总和。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 某车间有 $A$、$B$ 两条生产线：$A$ 线产量占 $70\%$，次品率 $2\%$；$B$ 线产量占 $30\%$，次品率 $6\%$。任取一件产品，它是次品的概率为 \_\_\_\_\_\_（defect-value）。

   答案：0.032

   两条生产线构成完备事件组，由全概率公式，
   $P(D)=0.7\times 0.02+0.3\times 0.06=0.014+0.018=0.032$。