# 全方差公式

## 公式

$$
D(X)=E[D(X\mid Y)]+D[E(X\mid Y)].
$$

其中 $D(X\mid Y)=E(X^2\mid Y)-[E(X\mid Y)]^2$ 是给定 $Y$ 时的条件方差（条件期望与条件分布的写法见[条件期望](/knowledge/maths/probability/conditional-expectation/)和[条件分布](/knowledge/maths/probability/conditional-distribution/)）。全方差公式把总波动拆成两部分：各情形内部的平均波动 $E[D(X\mid Y)]$，以及各情形平均水平之间的波动 $D[E(X\mid Y)]$。

**证明**

由条件期望的性质，$E(X^2)=E[E(X^2\mid Y)]$，而

$$
E(X^2\mid Y)=D(X\mid Y)+[E(X\mid Y)]^2.
$$

于是

$$
\begin{aligned}
D(X)
&=E(X^2)-[E(X)]^2\\
&=E[D(X\mid Y)]+E\bigl([E(X\mid Y)]^2\bigr)-\bigl(E[E(X\mid Y)]\bigr)^2\\
&=E[D(X\mid Y)]+D[E(X\mid Y)].
\end{aligned}
$$

> [!WARNING]
> 混合分布中只把各条件方差加权平均，会漏掉条件均值随情形变化带来的那部分波动。两部分都要算，才是总方差。

## 例子

**混合分布的总方差**

某零件由两台设备加工，$60\%$ 来自甲设备，$40\%$ 来自乙设备。甲设备加工的长度均值为 $10$，方差为 $0.04$；乙设备均值为 $12$，方差为 $0.09$。记长度为 $X$，来源设备为 $Y$。

组内平均波动为

$$
E[D(X\mid Y)]=0.6\times0.04+0.4\times0.09=0.06.
$$

条件均值为 $E(X\mid Y=\text{甲})=10$、$E(X\mid Y=\text{乙})=12$，其方差为

$$
D[E(X\mid Y)]
=0.6\times(10-10.8)^2+0.4\times(12-10.8)^2
=0.384+0.576=0.96.
$$

由全方差公式，

$$
D(X)=0.06+0.96=1.02.
$$

若只把两个条件方差加权平均，会得到 $0.06$，漏掉了两台设备均值相差 $2$ 所带来的波动。

## 交互探索

调整两组的比例和组内成功率，比较各组内部的平均波动与组间平均水平差异带来的波动。两部分相加为总方差。

交互演示：总方差中的组内与组间部分各占多少？。调整两组的比例和成功率，将二元变量的总方差拆成两部分。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 已知 $E[D(X\mid Y)]=2$，$D[E(X\mid Y)]=3$，则 $D(X)=$ \_\_\_\_\_\_（total-variance-value）。

   答案：5

   由全方差公式，$D(X)=E[D(X\mid Y)]+D[E(X\mid Y)]=2+3=5$。