# 均匀分布

## 定义

设 $a<b$，$X\sim U[a,b]$。它的密度在 $[a,b]$ 上为常数，分布函数在区间内线性增长：

$$
f(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{b-a},&a<x<b,\\0,&\text{其他},\end{cases}
\qquad
F(x)=\begin{cases}0,&x<a,\\\dfrac{x-a}{b-a},&a\le x<b,\\1,&x\ge b.\end{cases}
$$

## 性质

落在子区间内的概率与子区间长度成正比。数字特征为

$$
E(X)=\frac{a+b}{2},\qquad D(X)=\frac{(b-a)^2}{12}.
$$

## 例子

**均匀分布上的区间概率与数字特征**

设 $X\sim U[2,6]$。区间概率与区间长度成正比：

$$
P\{3<X<5\}=\frac{5-3}{6-2}=\frac12.
$$

数字特征为

$$
E(X)=\frac{2+6}{2}=4,\qquad D(X)=\frac{(6-2)^2}{12}=\frac43.
$$

## 交互探索

改变均匀分布的区间和阈值，比较区间长度比例与概率。

交互演示：均匀分布改变区间后，概率怎样计算？。调整区间位置、长度和阈值，计算左侧区间的概率。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 设 $X\sim U[0,10]$，则 $P\{2<X<5\}=$ \_\_\_\_\_\_（uniform-prob）。

   答案：0.3

   均匀分布下概率等于区间长度除以总长度：$(5-2)/10=0.3$。