# 方差

方差与标准差描述随机变量取值围绕期望的分散程度。本页默认所讨论的随机变量二阶矩有限，即 $E(X^2)<+\infty$；这时 $E(X)$ 也一定存在。

## 定义

设 $X$ 满足 $E(X^2)<+\infty$，记 $\mu=E(X)$。称

$$
D(X)=E\bigl[(X-\mu)^2\bigr]
$$

为 $X$ 的**方差**，也记作 $\operatorname{Var}(X)$；称 $\sqrt{D(X)}$ 为**标准差**，它与 $X$ 取相同的单位。方差是平方的量，标准差才与原始数据同量纲，比较波动时常用标准差。

方差常用下面的公式计算：

$$
D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2.
$$

**证明**

把平方展开，再用期望的线性性质：

$$
D(X)=E(X^2-2\mu X+\mu^2)=E(X^2)-2\mu E(X)+\mu^2=E(X^2)-[E(X)]^2.
$$

> [!IMPORTANT]
> **两个量不要混淆**
>
> $E(X^2)$ 是二阶原点矩（记号见[矩](/knowledge/maths/probability/moments-covariance-matrix/)），$[E(X)]^2$ 是期望的平方。方差是这两者之差，既不是 $E(X^2)$，也不能把平方写在期望外面。

## 性质

### 常数与仿射变换

$$
D(C)=0,\qquad D(aX+b)=a^2D(X).
$$

**证明**

常数的取值不波动，所以 $D(C)=0$。对仿射变换，均值为 $aE(X)+b$，于是

$$
D(aX+b)=E\bigl[(aX+b-aE(X)-b)^2\bigr]
=a^2E\bigl[(X-E(X))^2\bigr]=a^2D(X).
$$

平移不改变波动，乘以 $a$ 则把偏差放大 $|a|$ 倍，方差相应放大 $a^2$ 倍。

### 两个变量与线性组合

$$
D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)\pm2\operatorname{Cov}(X,Y).
$$

协方差的定义与性质见[协方差](/knowledge/maths/probability/covariance-correlation/)。若 $X$ 与 $Y$ 不相关，即 $\operatorname{Cov}(X,Y)=0$（独立是充分条件），则

$$
D(X+Y)=D(X-Y)=D(X)+D(Y).
$$

对有限线性组合，

$$
D\left(\sum_i a_iX_i\right)
=\sum_i a_i^2D(X_i)+2\sum_{i<j}a_ia_j\operatorname{Cov}(X_i,X_j).
$$

若各变量两两不相关，所有协方差项为零，方差只剩 $\sum_i a_i^2D(X_i)$。

> [!WARNING]
> **方差没有线性性**
>
> $D(X-X)=0$，不能未经检查就写成 $2D(X)$。即使 $X$ 与 $Y$ 独立，$D(X-Y)$ 也是 $D(X)+D(Y)$，不会相减；负号只通过协方差项影响结果。

### 样本和与样本均值

设 $X_1,\ldots,X_n$ 独立同分布，$E(X_i)=\mu$，$D(X_i)=\sigma^2$。独立性使各协方差为零，于是

$$
E\left(\sum_{i=1}^nX_i\right)=n\mu,\qquad
D\left(\sum_{i=1}^nX_i\right)=n\sigma^2,
$$

样本均值 $\bar X=\frac1n\sum_iX_i$ 满足

$$
E(\bar X)=\mu,\qquad D(\bar X)=\frac{\sigma^2}{n}.
$$

最后一条由 $D(\bar X)=\frac{1}{n^2}D\left(\sum_iX_i\right)=\frac{n\sigma^2}{n^2}$ 得到。平均值的标准差为 $\sigma/\sqrt n$：若希望它减半，样本量要增为原来的四倍。

### 零方差

方差非负，且

$$
D(X)=0
$$

当且仅当 $X=E(X)$ 几乎必然成立。也就是说，方差为零的随机变量几乎必然是常数；这一点在讨论相关系数的分母时要用到。

## 例子

**$B(1,p)$ 的方差**

设 $P\{X=1\}=p$，$P\{X=0\}=1-p$。此时 $E(X)=p$，且 $X^2=X$，所以 $E(X^2)=p$。按计算公式，

$$
D(X)=p-p^2=p(1-p).
$$

若直接用定义，$X-E(X)$ 以概率 $p$ 取 $1-p$、以概率 $1-p$ 取 $-p$，平方后加权同样得到 $p(1-p)^2+(1-p)p^2=p(1-p)$。

## 交互探索

比较对称两点分布的中心位置与偏离距离对方差的影响。

交互演示：平移和拉伸怎样影响方差？。比较对称两点分布的中心、偏离距离和方差。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 设 $P\{X=0\}=0.2$，$P\{X=1\}=0.5$，$P\{X=2\}=0.3$，则 $D(X)=$ \_\_\_\_\_\_（discrete-variance-value）。

   答案：0.49

   先算 $E(X)=0\times0.2+1\times0.5+2\times0.3=1.1$，再算 $E(X^2)=0+1\times0.5+4\times0.3=1.7$，所以 $D(X)=1.7-1.1^2=1.7-1.21=0.49$。

2. 已知 $D(X)=4$，则 $D(3X-2)=$ \_\_\_\_\_\_（affine-variance-value）。

   答案：36

   仿射变换中常数项不影响方差，系数平方后乘到方差上：$D(3X-2)=3^2D(X)=9\times4=36$。

3. 设 $X_1,\ldots,X_{16}$ 独立同分布，$D(X_i)=9$，则 $D(\bar X)=$ \_\_\_\_\_\_（sample-mean-value）。

   答案：0.5625

   样本均值的方差为 $\dfrac{\sigma^2}{n}=\dfrac{9}{16}=0.5625$。计算时先把和的方差 $n\sigma^2$ 除以 $n^2$，约分后得到 $\sigma^2/n$。

4. 设 $D(X)=4$，$D(Y)=9$，且 $X$ 与 $Y$ 不相关，则 $D(X-Y)=$ \_\_\_\_\_\_（uncorrelated-variance-value）。

   答案：13

   协方差为零时 $D(X-Y)=D(X)+D(Y)=4+9=13$。负号不会让方差相减。

5. 关于方差，下列叙述正确的是

   * A.  $D(X-Y)=D(X)-D(Y)$
   * B.  $D(2X)=2D(X)$
   * C.  若 $X$ 与 $Y$ 不相关，则 $D(X-Y)=D(X)+D(Y)$
   * D.  $D(XY)=D(X)D(Y)$

   答案：C

   不相关时协方差为零，$D(X-Y)=D(X)+D(Y)$。其余三项分别错在：方差不能相减；系数要平方，$D(2X)=4D(X)$；乘积的方差一般不能拆成方差之积。