# 绝对收敛与条件收敛

## 定义

对一般级数 $\sum u_n$（$u_n$ 可正可负），考察各项取绝对值后得到的正项级数 $\sum|u_n|$：

* 若 $\sum|u_n|$ 收敛，则称 $\sum u_n$ **绝对收敛**；
* 若 $\sum u_n$ 收敛，但 $\sum|u_n|$ 发散，则称 $\sum u_n$ **条件收敛**。

**定理**：若级数 $\sum u_n$ 绝对收敛，则 $\sum u_n$ 必定收敛。

**证明**

令

$$
v_n=\frac12\bigl(u_n+|u_n|\bigr),
$$

则 $0\le v_n\le|u_n|$。由 $\sum|u_n|$ 收敛及比较审敛法，$\sum v_n$ 收敛。又 $u_n=2v_n-|u_n|$，由收敛级数的线性性质，$\sum u_n$ 收敛。

> [!WARNING]
> 逆命题不成立：收敛不一定绝对收敛。$\sum\dfrac{(-1)^{n-1}}{n}$ 由莱布尼茨定理收敛，但 $\sum\dfrac1n$ 是发散的调和级数，所以它只是条件收敛。

例如，$\sum\dfrac{(-1)^{n-1}}{n^2}$ 绝对收敛，因为 $\sum\dfrac1{n^2}$ 是 $p=2$ 的收敛的 $p$ 级数；$\sum\dfrac{(-1)^{n-1}}{n}$ 条件收敛。判断条件收敛要两步：先证原级数收敛，再证绝对值级数发散。

## 探索

交互演示：原级数与绝对值级数如何不同？。比较交错调和级数及其绝对值级数。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}$ 属于：

   * A.  绝对收敛
   * B.  条件收敛
   * C.  发散

   答案：B

   $u_n=\dfrac1n$ 单调递减趋于 $0$，由莱布尼茨定理级数收敛；但 $\sum\dfrac1n$ 是调和级数，发散。所以是条件收敛。