# 交错级数

## 定义

正负项交替出现的级数称为**交错级数**，一般形式为

$$
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}u_n=u_1-u_2+u_3-u_4+\cdots
$$

或

$$
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^nu_n=-u_1+u_2-u_3+u_4-\cdots
$$

其中 $u_n>0$。

### 莱布尼茨定理

若交错级数 $\sum(-1)^{n-1}u_n$（$u_n>0$）满足

1. 数列 $\{u_n\}$ 单调递减，即 $u_{n+1}\le u_n$（$n=1,2,3,\dots$）；
2. $\lim_{n\to\infty}u_n=0$，

则该交错级数收敛，且其和 $s\le u_1$，余项满足

$$
|r_n|\le u_{n+1}.
$$

满足这两个条件的交错级数也称为**莱布尼茨级数**。

**证明**

记偶数项部分和 $s_{2n}$。由于

$$
s_{2n}=(u_1-u_2)+(u_3-u_4)+\cdots+(u_{2n-1}-u_{2n}),
$$

每个括号非负，$\{s_{2n}\}$ 单调不减；又

$$
s_{2n}=u_1-(u_2-u_3)-\cdots-(u_{2n-2}-u_{2n-1})-u_{2n}\le u_1,
$$

所以 $\{s_{2n}\}$ 有上界，收敛，设极限为 $s$，且 $s\le u_1$。

奇数项部分和 $s_{2n-1}$ 单调不增且有下界 $0$，也收敛；而 $s_{2n-1}-s_{2n}=u_{2n}\to0$，故 $\{s_{2n-1}\}$ 与 $\{s_{2n}\}$ 趋于同一极限 $s$，整个部分和数列收敛于 $s$。

余项 $r_n=s-s_n$ 是级数的尾部，符号由 $n$ 的奇偶决定；对尾部按同样的括号分组，即得 $|r_n|\le u_{n+1}$。

> [!WARNING]
> **单调性条件不能省**
>
> 只验证 $u_n\to0$ 不足以判定交错级数收敛。取 $u_{2k-1}=\dfrac1k$、$u_{2k}=\dfrac1{k^2}$，则 $u_n>0$、$u_n\to0$，但级数 $\sum(-1)^{n-1}u_n$ 的正项部分为调和级数、负项部分收敛，部分和趋于 $+\infty$，级数发散。
>
> 莱布尼茨定理给出的是充分条件，不是必要条件。

## 例子

**$\sum\dfrac{(-1)^{n-1}}{\sqrt n}$ 条件收敛**

$u_n=\dfrac1{\sqrt n}$ 单调递减且趋于 $0$，由莱布尼茨定理，级数收敛。但

$$
\sum\Bigl|\frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt n}\Bigr|=\sum\frac1{\sqrt n}
$$

是 $p=\dfrac12\le1$ 的 $p$ 级数，发散。所以原级数条件收敛。

## 探索

交互演示：交错调和级数的误差如何缩小？。观察部分和与莱布尼茨余项界。 请在站点操作演示。