# 级数的柯西乘积

## 定义

设两个级数分别为 $\sum u_n$ 与 $\sum v_n$。构造级数 $\sum w_n$，其中

$$
w_n=u_1v_n+u_2v_{n-1}+\cdots+u_nv_1=\sum_{k=1}^{n}u_kv_{n+1-k}.
$$

级数 $\sum w_n$ 称为 $\sum u_n$ 与 $\sum v_n$ 的**柯西乘积**。它的第 $n$ 项把所有下标之和为 $n+1$ 的乘积 $u_iv_j$ 汇总在一起。

若两个级数都收敛，且至少一个绝对收敛，则柯西乘积收敛，其和等于两个级数的和的乘积。仅有两个级数收敛不足以保证柯西乘积收敛。

## 探索

交互演示：柯西乘积的一项如何组成？。列出下标之和等于n的各项乘积。 请在站点操作演示。