# 函数项级数

## 定义

若级数的每一项都是定义在区间 $I$ 上的函数，

$$
u_1(x)+u_2(x)+u_3(x)+\cdots+u_n(x)+\cdots,
$$

则称它为**函数项级数**。对 $I$ 上的每一点 $x_0$，代入后得到一个常数项级数 $\sum u_n(x_0)$，它可能收敛也可能发散。

若 $\sum u_n(x_0)$ 收敛，则称 $x_0$ 为函数项级数的**收敛点**，所有收敛点构成的集合称为**收敛域**。在收敛域上，级数的和是 $x$ 的函数

$$
s(x)=\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)=\lim_{n\to\infty}s_n(x),
$$

称为**和函数**，其中 $s_n(x)=\sum_{k=1}^{n}u_k(x)$ 是**部分和函数**。

函数项级数在每个收敛点上都化归为常数项级数，所以它的收敛域由逐点判断常数项级数得到；和函数则把这些点的和收集成一个函数。

## 探索

交互演示：选定一个x后，函数项级数是什么？。在不同点查看函数项级数的部分和。 请在站点操作演示。