# 幂级数

## 定义

形如

$$
\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n+\cdots
$$

的函数项级数称为 $x$ 的**幂级数**，常数 $a_0,a_1,a_2,\dots$ 称为幂级数的**系数**。

更一般地，形如

$$
\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n
$$

的级数称为 $(x-x_0)$ 的幂级数。令 $t=x-x_0$，它就化为 $\sum a_nt^n$，所以讨论收敛性时可以只处理 $x_0=0$ 的情形，最后把区间平移回去。

## 性质

### 收敛性与收敛半径

#### 阿贝尔定理

设幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$。

1. 若它在 $x=x_0$（$x_0\ne0$）处收敛，则对满足 $|x|<|x_0|$ 的一切 $x$，该幂级数绝对收敛；
2. 若它在 $x=x_0$ 处发散，则对满足 $|x|>|x_0|$ 的一切 $x$，该幂级数发散。

**证明**

设 $\sum a_nx_0^n$ 收敛。由收敛的必要条件，$a_nx_0^n\to0$，于是存在常数 $M$，使

$$
|a_nx_0^n|\le M
$$

对一切 $n$ 成立。对满足 $|x|<|x_0|$ 的 $x$，记 $q=\left|\dfrac{x}{x_0}\right|<1$，则

$$
|a_nx^n|=|a_nx_0^n|\cdot q^n\le Mq^n.
$$

$\sum Mq^n$ 是收敛的等比级数，由比较审敛法，$\sum|a_nx^n|$ 收敛，即原幂级数在 $x$ 处绝对收敛。

第二条用反证：若存在 $|x|>|x_0|$ 使级数在 $x$ 处收敛，则由第一条，级数在 $x_0$ 处绝对收敛，与题设发散矛盾。

**推论**：若幂级数 $\sum a_nx^n$ 不是只在 $x=0$ 处收敛，也不是在整个实数轴上收敛，则存在正数 $R$，使得

* 当 $|x|<R$ 时，幂级数绝对收敛；
* 当 $|x|>R$ 时，幂级数发散；
* 当 $x=R$ 与 $x=-R$ 时，幂级数可能收敛也可能发散，需要单独判定。

这个 $R$ 称为幂级数的**收敛半径**，开区间 $(-R,R)$ 称为**收敛区间**。把端点 $x=\pm R$ 的敛散性判定之后，收敛区间连同收敛的端点构成**收敛域**。

若幂级数只在 $x=0$ 处收敛，规定 $R=0$；若它对一切 $x$ 都收敛，规定 $R=+\infty$。

> [!WARNING]
> **端点没有一般结论**
>
> 阿贝尔定理只断言开区间 $(-R,R)$ 内绝对收敛、$|x|>R$ 时发散。在 $x=\pm R$ 处，幂级数可能绝对收敛、条件收敛或发散，必须把 $x=\pm R$ 代入原级数，按常数项级数重新判断。

#### 收敛半径的求法

设幂级数 $\sum a_nx^n$ 的系数满足

$$
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\rho
\qquad\text{或}\qquad
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\rho,
$$

则

1. 当 $0<\rho<+\infty$ 时，$R=\dfrac1\rho$；
2. 当 $\rho=0$ 时，$R=+\infty$；
3. 当 $\rho=+\infty$ 时，$R=0$。

**证明**

对 $x\ne0$，把比值审敛法用于绝对值级数 $\sum|a_nx^n|$：

$$
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}x^{n+1}}{a_nx^n}\right|
=\rho|x|.
$$

当 $\rho|x|<1$，即 $|x|<\dfrac1\rho$ 时，绝对值级数收敛；当 $\rho|x|>1$ 时，通项不趋于 $0$，幂级数发散。所以 $R=\dfrac1\rho$。用根值审敛法对 $\sum|a_nx^n|$ 开 $n$ 次方，得到同样的 $\rho|x|$，结论相同。

$\rho=0$ 时对任何 $x$ 都有 $\rho|x|<1$，$R=+\infty$；$\rho=+\infty$ 时对任何 $x\ne0$ 都有 $\rho|x|>1$，$R=0$。

> [!NOTE]
> 公式只给收敛半径，不给端点。求收敛域要分三步：由系数极限算 $R$；写出收敛区间 $(-R,R)$；把 $x=\pm R$ 代入原级数判断端点。

### 幂级数的运算

设 $\sum a_nx^n$ 的收敛半径为 $R_1$，$\sum b_nx^n$ 的收敛半径为 $R_2$，令 $R=\min(R_1,R_2)$。在 $(-R,R)$ 内可以进行下列运算。

**加法与减法**：

$$
\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\pm\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n
=\sum_{n=0}^{\infty}(a_n\pm b_n)x^n.
$$

**乘法（柯西乘积）**：

$$
\Bigl(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\Bigr)\Bigl(\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n\Bigr)
=\sum_{n=0}^{\infty}c_nx^n,\qquad
c_n=\sum_{k=0}^{n}a_kb_{n-k}.
$$

**除法**：当 $b_0\ne0$ 且 $|x|$ 足够小时，商可以写成幂级数 $\sum d_nx^n$，系数 $d_n$ 用待定系数法由递推关系确定。

> [!NOTE]
> $R=\min(R_1,R_2)$ 只是保证运算在 $(-R,R)$ 内成立的区间，运算结果的收敛半径可以更大。例如两个系数互为相反数的幂级数相加得到零级数，它对一切 $x$ 收敛。

### 分析性质

幂级数在收敛区间内的三条分析性质，是它区别于一般函数项级数的关键。

**连续性**：和函数 $s(x)=\sum a_nx^n$ 在收敛区间 $(-R,R)$ 内连续。若幂级数在端点 $x=R$（或 $x=-R$）处也收敛，则和函数在该端点处单侧连续。

**逐项积分**：对任意 $x\in(-R,R)$，

$$
\int_0^xs(t)\,\mathrm{d}t
=\int_0^x\Bigl(\sum_{n=0}^{\infty}a_nt^n\Bigr)\mathrm{d}t
=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n+1}x^{n+1},
$$

逐项积分后所得幂级数的收敛半径仍为 $R$。

**逐项求导**：和函数在 $(-R,R)$ 内可导，且

$$
s'(x)=\Bigl(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\Bigr)'
=\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1},
$$

逐项求导后所得幂级数的收敛半径仍为 $R$。

> [!NOTE]
> 逐项求导、逐项积分保持收敛半径不变，但端点处的敛散性可能改变。例如 $\sum\dfrac{x^n}{n}$ 的收敛半径是 $1$，在 $x=-1$ 处收敛；逐项求导得到 $\sum x^{n-1}$，它在 $x=-1$ 处发散。

这三条性质给出了求幂级数和函数的常用路线：先逐项求导，把系数中的 $n$ 消去，化成可以套用等比级数公式的形式，求和后再逐项积分还原；有时反过来先积分再求导更方便。

## 例子

**$\sum\dfrac{x^n}{n}$ 的收敛域**

由 $\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\dfrac{n}{n+1}\to1$ 得 $R=1$，收敛区间为 $(-1,1)$。

在 $x=1$ 处，级数为调和级数 $\sum\dfrac1n$，发散；在 $x=-1$ 处，级数为 $\sum\dfrac{(-1)^n}{n}$，由莱布尼茨定理收敛。

所以收敛域为 $[-1,1)$。

**$\sum n!x^n$ 的收敛域**

由 $\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=n+1\to+\infty$ 得 $R=0$，幂级数只在 $x=0$ 处收敛，收敛域为 $\{0\}$。

**$\sum\dfrac{x^n}{n!}$ 的收敛域**

由 $\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\dfrac{1}{n+1}\to0$ 得 $R=+\infty$，幂级数对一切 $x$ 收敛，收敛域为 $(-\infty,+\infty)$。

**用求导与积分求和函数**

当 $|x|<1$ 时，

$$
\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x}.
$$

两边逐项求导，得

$$
\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^2}\qquad(|x|<1).
$$

对 $\sum x^n=\dfrac1{1-x}$ 两边从 $0$ 到 $x$ 逐项积分，得

$$
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}=-\ln(1-x)\qquad(|x|<1).
$$

## 探索

交互演示：收敛半径能决定端点吗？。检查一个幂级数在半径内外及两个端点的行为。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 幂级数 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{3^n}$ 的收敛半径 $R=$ \_\_\_\_\_\_（radius）。

   答案：3

   $\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\dfrac{3^n}{3^{n+1}}=\dfrac13$，所以 $\rho=\dfrac13$，$R=\dfrac1\rho=3$。

2. 幂级数 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}n!x^n$ 的收敛域是：

   * A.  $\{0\}$
   * B.  $(-1,1)$
   * C.  $[-1,1]$
   * D.  $(-\infty,+\infty)$

   答案：A

   系数比值的极限为 $+\infty$，所以 $R=0$，幂级数只在 $x=0$ 处收敛。

3. 设幂级数 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ 的收敛半径为 $R>0$，下列结论哪些一定成立？

   * A.  在 $(-R,R)$ 内绝对收敛
   * B.  在 $x=R$ 处必收敛
   * C.  逐项求导后所得幂级数的收敛半径仍为 $R$
   * D.  和函数在 $(-R,R)$ 内连续

   答案：A、C、D

   A、D由阿贝尔定理与连续性得到，C是逐项求导的性质。B不成立：端点处可能收敛也可能发散，例如 $\sum x^n$ 的收敛半径是 $1$，在 $x=1$ 处发散。