# 正项级数的审敛法

## 定义

若级数 $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ 的每一项都非负，即 $u_n\ge0$（$n=1,2,3,\dots$），则称它为**正项级数**。

正项级数的部分和数列单调不减：$s_{n+1}=s_n+u_{n+1}\ge s_n$。单调数列收敛当且仅当它有界，这一条是判断正项级数收敛的基础。

**定理（正项级数收敛的充要条件）**：正项级数 $\sum u_n$ 收敛的充要条件是它的部分和数列 $\{s_n\}$ 有上界。

**证明**

部分和数列单调不减。若它有上界 $M$，由单调有界准则，$\{s_n\}$ 收敛，级数收敛；反之，若级数收敛，则 $\{s_n\}$ 收敛，收敛数列必有界，即存在 $M$ 使 $s_n\le M$ 对一切 $n$ 成立。

因此判断正项级数是否收敛，只需判断部分和是否有上界，不必求出和。下面各判别法都是把这一条用到不同的比较对象上。

## 性质

### 比较审敛法

设 $\sum u_n$ 与 $\sum v_n$ 都是正项级数，且存在正整数 $N$，当 $n\ge N$ 时 $u_n\le v_n$。则

1. 若 $\sum v_n$ 收敛，则 $\sum u_n$ 也收敛；
2. 若 $\sum u_n$ 发散，则 $\sum v_n$ 也发散。

简记为：大的收敛则小的收敛，小的发散则大的发散。

**证明**

只需证第一条，第二条是它的逆否命题。设 $n\ge N$ 时 $u_n\le v_n$，并设 $\sum v_n$ 收敛。对 $n>N$，

$$
s_n^{(u)}=s_N^{(u)}+\sum_{k=N+1}^{n}u_k
\le s_N^{(u)}+\sum_{k=N+1}^{n}v_k
\le s_N^{(u)}+\sum_{k=N+1}^{\infty}v_k,
$$

右端是与 $n$ 无关的常数，所以 $\{s_n^{(u)}\}$ 有上界，$\sum u_n$ 收敛。

比较时只需从某一项之后成立，前有限项不影响敛散性。常用的比较对象是 $p$ 级数：

$$
\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^p}\quad
\begin{cases}
\text{收敛}, & p>1,\\
\text{发散}, & p\le1.
\end{cases}
$$

若存在常数 $C>0$ 使 $n\ge N$ 时 $u_n\le Cv_n$，则 $\sum v_n$ 收敛时 $\sum u_n$ 也收敛；若反向有 $u_n\ge cv_n$（$c>0$），则 $\sum v_n$ 发散时 $\sum u_n$ 也发散。两个方向同时成立，即

$$
cv_n\le u_n\le Cv_n\qquad(n\ge N)
$$

时，两级数同敛散。

### 比较审敛法的极限形式

设 $\sum u_n$ 与 $\sum v_n$ 都是正项级数，且 $v_n>0$。若

$$
\lim_{n\to\infty}\frac{u_n}{v_n}=l\qquad(0<l<+\infty),
$$

则两级数同敛散。

特别地：

* 若 $l=0$ 且 $\sum v_n$ 收敛，则 $\sum u_n$ 收敛；
* 若 $l=+\infty$ 且 $\sum v_n$ 发散，则 $\sum u_n$ 发散。

**证明**

设 $0<l<+\infty$。取 $\varepsilon=\dfrac l2$，当 $n$ 充分大时

$$
\frac l2<\frac{u_n}{v_n}<\frac{3l}{2},
$$

即 $\dfrac l2v_n<u_n<\dfrac{3l}{2}v_n$。由比较审敛法，两级数同敛散。

极限形式不必逐项验证不等式，只需算两个通项之比的极限，因此比直接比较更常用。

> [!WARNING]
> 另外两种组合没有结论：$l=0$ 且 $\sum v_n$ 发散时，$\sum u_n$ 可能收敛也可能发散；$l=+\infty$ 且 $\sum v_n$ 收敛时同样无法判断。这两个方向必须换比较对象重新判断。

### 比值审敛法

设 $\sum u_n$ 是正项级数（$u_n>0$），若

$$
\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho,
$$

则

1. 当 $\rho<1$ 时，级数收敛；
2. 当 $\rho>1$（或 $\rho=+\infty$）时，级数发散；
3. 当 $\rho=1$ 时，此方法失效，级数可能收敛也可能发散。

比值审敛法也称达朗贝尔判别法，对通项含阶乘 $n!$、幂 $a^n$ 等乘积结构的级数特别有效，因为相邻两项相除能大量约去公因子。

**证明**

设 $\rho<1$，取 $q$ 使 $\rho<q<1$。存在 $N$，当 $n\ge N$ 时 $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\le q$，于是

$$
u_{N+k}\le u_Nq^k.
$$

右端构成收敛的等比级数，由比较审敛法，$\sum u_n$ 收敛。

设 $\rho>1$，则当 $n$ 充分大时 $u_{n+1}>u_n$，数列 $\{u_n\}$ 从某项起单调递增，不可能趋于 $0$，由收敛的必要条件，级数发散。

### 根值审敛法

设 $\sum u_n$ 是正项级数（$u_n\ge0$），若

$$
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}=\rho,
$$

则

1. 当 $\rho<1$ 时，级数收敛；
2. 当 $\rho>1$（或 $\rho=+\infty$）时，级数发散；
3. 当 $\rho=1$ 时，此方法失效。

根值审敛法也称柯西判别法，对通项本身是 $n$ 次幂的级数特别有效：开 $n$ 次方后底数直接显现。$\rho<1$ 时，同样由 $u_n<q^n$（$q$ 满足 $\rho<q<1$）与等比级数比较得到收敛。

> [!NOTE]
> 比值法与根值法的结论形式相同，都只覆盖 $\rho\ne1$ 的情形，且都以等比级数为比较对象。通项含阶乘时比值法约分方便，通项呈 $n$ 次幂时根值法更直接。

### 极限审敛法

设 $\sum u_n$ 是正项级数。若

$$
\lim_{n\to\infty}nu_n=l>0,
$$

则级数 $\sum u_n$ 发散。

更一般地，若

$$
\lim_{n\to\infty}n^pu_n=l\qquad(0<l<+\infty),
$$

则当 $p>1$ 时级数收敛，当 $p\le1$ 时级数发散。

其本质是取 $v_n=\dfrac1{n^p}$ 作比较对象，用比较审敛法的极限形式：此时 $\dfrac{u_n}{v_n}=n^pu_n\to l$，两级数同敛散，而 $p$ 级数在 $p>1$ 时收敛、$p\le1$ 时发散。

### 如何选择审敛法

1. **先检查一般项是否趋于零**

   若 $u_n$ 不趋于 $0$，由收敛的必要条件直接判定发散，不必再试其他判别法。

2. **按通项结构选判别法**

   通项含 $n!$、$a^n$ 等乘积结构时用比值审敛法；通项是 $n$ 次幂 $[f(n)]^n$ 时用根值审敛法；通项是 $n$ 的有理式或根式时，用极限审敛法或比较审敛法，以 $p$ 级数为比较对象。

3. **极限为 $1$ 或比较对象不好找时退回比较法**

   比值、根值法在 $\rho=1$ 时失效，此时对通项放缩，与已知敛散性的 $p$ 级数或等比级数逐项比较。

## 例子

**$\sum\dfrac1{n^2+1}$ 收敛**

当 $n\ge1$ 时

$$
0<\frac1{n^2+1}<\frac1{n^2},
$$

而 $\sum\dfrac1{n^2}$ 是 $p=2>1$ 的收敛的 $p$ 级数，由比较审敛法，原级数收敛。

**$\sum\dfrac{n!}{10^n}$ 发散**

用比值审敛法：

$$
\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{(n+1)!/10^{n+1}}{n!/10^n}=\frac{n+1}{10}\to+\infty,
$$

所以级数发散。

**$\sum\left(\dfrac{n}{2n+1}\right)^n$ 收敛**

用根值审敛法：

$$
\sqrt[n]{u_n}=\frac{n}{2n+1}\to\frac12<1,
$$

所以级数收敛。

## 探索

交互演示：p级数的收敛与指数有什么关系？。对照有限部分和和p级数判据。 请在站点操作演示。

## 练习

1. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{10^n}$ 的敛散性是：

   * A.  收敛
   * B.  发散

   答案：B

   比值 $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{n+1}{10}\to+\infty$，大于 $1$，由比值审敛法，级数发散。

2. 设正项级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ 满足 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}nu_n=\frac12$，则该级数：

   * A.  收敛
   * B.  发散
   * C.  敛散性不能确定

   答案：B

   这是极限审敛法在 $p=1$ 的情形：$\lim nu_n=\dfrac12>0$，级数发散。也可以取 $v_n=\dfrac1n$，由比较审敛法的极限形式得两级数同敛散，而调和级数发散。