# 卡方分布

## 定义

设 $Z_1,Z_2,\ldots,Z_\nu$ 相互独立，且都服从 $N(0,1)$，则

$$
U=\sum_{i=1}^{\nu}Z_i^2\sim\chi^2(\nu),
$$

其中 $\nu$ 称为**自由度**。它的数字特征为

$$
E(U)=\nu,\qquad D(U)=2\nu.
$$

这两个式子来自单个标准正态变量：$E(Z_i^2)=D(Z_i)=1$，而

$$
D(Z_i^2)=E(Z_i^4)-\bigl[E(Z_i^2)\bigr]^2=3-1=2,
$$

再由独立性把 $\nu$ 项相加。

卡方分布只在 $[0,+\infty)$ 上取值，通常不对称，右尾较长。相互独立的卡方变量可以相加，**自由度也相加**：若 $U_1\sim\chi^2(\nu_1)$ 与 $U_2\sim\chi^2(\nu_2)$ 独立，则 $U_1+U_2\sim\chi^2(\nu_1+\nu_2)$。这里独立性不能省。

## 例子

**卡方变量的自由度相加**

设 $U_1\sim\chi^2(3)$ 与 $U_2\sim\chi^2(4)$ 相互独立，则 $U_1+U_2\sim\chi^2(7)$，因此

$$
E(U_1+U_2)=7,\qquad D(U_1+U_2)=14.
$$

若样本容量 $n=6$，总体正态，则 $\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}=\dfrac{5S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(5)$，期望为 $5$、方差为 $10$。卡方结论只由自由度决定，与 $\mu$、$\sigma^2$ 的具体取值无关，这也是把 $\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$ 当作枢轴量的依据。

## 探索

交互演示：卡方变量怎样由标准正态变量构造？。查看平方和的一个示例与理论矩。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 设 $U\sim\chi^2(8)$。

   1. $E(U)=$ \_\_\_\_\_\_（chi-mean）。

      答案：8

      卡方分布的期望等于自由度，$E(U)=\nu=8$。

   2. $D(U)=$ \_\_\_\_\_\_（chi-variance）。

      答案：16

      $D(U)=2\nu=2\times8=16$。