# 列联表独立性检验

## 定义

同一套“观察频数对期望频数”的比较也可以检验两个分类变量是否独立。对 $r\times c$ 列联表，记第 $(i,j)$ 格的观察频数为 $O_{ij}$，第 $i$ 行合计为 $O_{i\cdot}$，第 $j$ 列合计为 $O_{\cdot j}$，总频数为 $n$。独立假设下的期望频数为

$$
E_{ij}=\frac{O_{i\cdot}O_{\cdot j}}{n},
$$

统计量仍为

$$
Q=\sum_{i,j}\frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}}\approx\chi^2((r-1)(c-1)).
$$

仍为右尾检验，并同样检查期望频数是否过小。拟合优度检验的自由度由类别数与所估参数决定；列联表独立性检验的自由度为 $(r-1)(c-1)$，不要套用 $k-1-r$。

> [!TIP]
> **两种自由度的来源**
>
> 列联表的期望频数由行合计与列合计共同决定，行列合计分别占去 $(r-1)$ 与 $(c-1)$ 个自由度，所以独立条件下自由变动的格子数是 $(r-1)(c-1)$。

## 探索

交互演示：列联表的独立模型如何得到期望频数？。固定行列合计，比较观察频数与独立模型。 请在站点操作演示。

## 练习

1. $3\times4$ 列联表的独立性检验中，卡方统计量的自由度是 \_\_\_\_\_\_（contingency-df-value）。

   答案：6

   $(r-1)(c-1)=(3-1)(4-1)=6$。