# 常用分布与统计公式速查

本页集中列出结论和适用参数。查表前先确认两件事：题目用的是哪一套参数化，公式要求的条件是否成立。

下文记 $q=1-p$，$\nu$ 为自由度。出现的分位点 $z_\alpha$、$\chi^2_\alpha(\nu)$、$t_\alpha(\nu)$、$F_\alpha(\nu_1,\nu_2)$ 都按上侧定义，即右侧尾概率恰为 $\alpha$ 的点；定义、对称性与换算规则见[上侧分位点](/knowledge/maths/statistics/upper-tail-quantile/)。

## 常见分布的数字特征

下表中几何分布计数从 $1$ 开始，指数分布使用率参数 $\lambda$。

| 分布                | 参数范围或约定                     | 期望                | 方差                                                           |
| :---------------- | :-------------------------- | :---------------- | :----------------------------------------------------------- |
| $B(1,p)$          | $0\le p\le1$                | $p$               | $p(1-p)$                                                     |
| $B(n,p)$          | $n$ 为正整数                    | $np$              | $np(1-p)$                                                    |
| $P(\lambda)$      | $\lambda>0$                 | $\lambda$         | $\lambda$                                                    |
| 几何分布              | 首次成功总次数，$0<p<1$             | $1/p$             | $(1-p)/p^2$                                                  |
| 超几何分布             | 总数 $N>1$，目标数 $M$，抽取数 $n$    | $nM/N$            | $n\frac MN(1-\frac MN)\frac{N-n}{N-1}$                       |
| $U[a,b]$          | $a<b$                       | $(a+b)/2$         | $(b-a)^2/12$                                                 |
| $E(\lambda)$      | 率参数                         | $1/\lambda$       | $1/\lambda^2$                                                |
| $N(\mu,\sigma^2)$ | $\sigma^2>0$                | $\mu$             | $\sigma^2$                                                   |
| $\chi^2(\nu)$     | $\nu>0$                     | $\nu$             | $2\nu$                                                       |
| $t(\nu)$          | 期望需 $\nu>1$，方差需 $\nu>2$     | $0$               | $\nu/(\nu-2)$                                                |
| $F(\nu_1,\nu_2)$  | 期望需 $\nu_2>2$，方差需 $\nu_2>4$ | $\nu_2/(\nu_2-2)$ | $\dfrac{2\nu_2^2(\nu_1+\nu_2-2)}{\nu_1(\nu_2-2)^2(\nu_2-4)}$ |

分布律与密度分别见[离散型随机变量](/knowledge/maths/probability/discrete-distributions/)和[连续型随机变量](/knowledge/maths/probability/continuous-distributions/)。常用模型可参阅[二项分布](/knowledge/maths/probability/binomial-distribution/)、[泊松分布](/knowledge/maths/probability/poisson-distribution/)与[正态分布](/knowledge/maths/probability/normal-distribution/)；卡方、t、F三种分布见[抽样分布](/knowledge/maths/statistics/sampling-distributions/)。

> [!TIP]
> **先识别模型**
>
> 固定试验次数、只数成功次数，选二项；固定目标数、不放回抽取，选超几何；稀少事件计数考虑泊松；等待首次成功选几何；连续且失效率恒定的等待时间考虑指数。是否满足模型条件要先判断，再看表取数字特征。

## 常见积分与求和

下面三组恒等式分别是二项式定理、$e^\lambda$ 的展开与等比级数、以及一个伽马型积分：

$$
\sum_{k=0}^{n}C_n^k p^k q^{n-k}=(p+q)^n,
$$

$$
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\lambda^k}{k!}=e^\lambda,\qquad
\sum_{k=0}^{\infty}q^k=\frac{1}{1-q}\quad(|q|<1).
$$

$$
\int_0^{\infty}x^m e^{-\lambda x}\,\mathrm dx=\frac{m!}{\lambda^{m+1}},\qquad m=0,1,\ldots,\ \lambda>0.
$$

这些恒等式常用于验证分布归一化，以及求泊松、几何、指数分布的矩。用等比级数时注意 $|q|<1$；二项分布的归一化就是把 $p+q=1$ 代入二项式定理。

## 标准正态与查表

标准正态的分布函数记作 $\Phi$，密度关于零对称，因此

$$
\Phi(-z)=1-\Phi(z),\qquad P\{|Z|>c\}=2[1-\Phi(c)]\quad(c\ge0).
$$

上 $\alpha$ 分位点 $z_\alpha$ 满足 $P\{Z>z_\alpha\}=\alpha$，等价于 $\Phi(z_\alpha)=1-\alpha$。常用取值如下：

| 上侧尾概率 $\alpha$ | $z_\alpha$ 近似值 | 常见用途                   |
| :------------- | :------------- | :--------------------- |
| $0.10$         | $1.282$        | $90\%$ 单侧界             |
| $0.05$         | $1.645$        | $90\%$ 双侧区间、$95\%$ 单侧界 |
| $0.025$        | $1.960$        | $95\%$ 双侧区间            |
| $0.01$         | $2.326$        | $99\%$ 单侧界             |
| $0.005$        | $2.576$        | $99\%$ 双侧区间            |

查表顺序是先确定单侧或双侧，再确定每侧尾概率，最后按表头读取对应数值。

> [!WARNING]
> **看清表头**
>
> 标准正态表可能列 $\Phi(z)$、$\Phi(z)-1/2$ 或上尾概率；泊松表可能列单点概率，也可能列累积概率。数表不通用，不能只按行列读数而不看定义。

### 卡方、t与F表

卡方、t、F表须先确定分位数定义、自由度、单侧或双侧。F分位点满足倒数关系

$$
F_\alpha(\nu_1,\nu_2)=1/F_{1-\alpha}(\nu_2,\nu_1),
$$

换算时两个自由度同时交换位置。卡方与 $F$ 分布不对称，不能用 $z_{1-\alpha}=-z_\alpha$ 那样的对称性换算。

## 统计推断选用表

下表中的精确分布均需相应的正态与独立条件；记 $\nu=n-1$，$S_p$ 为合并标准差，$S_D$ 为配对差值的样本标准差。

| 目标           | 统计量或枢轴量                                                 | 分布                |
| :----------- | :------------------------------------------------------ | :---------------- |
| 单均值，方差已知     | $(\bar X-\mu)/(\sigma/\sqrt n)$                         | $N(0,1)$          |
| 单均值，方差未知     | $(\bar X-\mu)/(S/\sqrt n)$                              | $t(n-1)$          |
| 单方差，均值未知     | $(n-1)S^2/\sigma^2$                                     | $\chi^2(n-1)$     |
| 独立两均值差，未知等方差 | $[\bar X-\bar Y-(\mu_1-\mu_2)]/[S_p\sqrt{1/n_1+1/n_2}]$ | $t(n_1+n_2-2)$    |
| 独立两方差比       | $(S_1^2/S_2^2)/(\sigma_1^2/\sigma_2^2)$                 | $F(n_1-1,n_2-1)$  |
| 配对均值差        | $(\bar D-\mu_D)/(S_D/\sqrt n)$                          | $t(n-1)$          |
| 单因素均值比较      | $MS_A/MS_E$                                             | $F(k-1,N-k)$，原假设下 |
| 多元回归整体检验     | $(SSR/p)/[SSE/(n-p-1)]$                                 | $F(p,n-p-1)$，原假设下 |

这些统计量的推导与使用分别见[区间估计](/knowledge/maths/statistics/interval-estimation/)、[假设检验](/knowledge/maths/statistics/hypothesis-testing/)、[单样本检验](/knowledge/maths/statistics/one-sample-tests/)、[两样本检验](/knowledge/maths/statistics/two-sample-tests/)、[方差分析](/knowledge/maths/statistics/anova/)、[一元线性回归](/knowledge/maths/statistics/simple-linear-regression/)与[多元线性回归](/knowledge/maths/statistics/multiple-linear-regression/)。

> [!TIP]
> **自由度记忆**
>
> 样本方差扣掉一个估计均值；两样本合并方差扣两个均值；一元回归扣截距和斜率；含 $p$ 个斜率的回归扣 $p+1$ 个系数。

## 常见解题路线

1. **求概率**

   先翻译事件，再选古典、条件、全概率、独立或分布计算。

2. **求分布**

   先范围，后分布函数；单调变换可用反函数，非单调分支需合并。

3. **求数字特征**

   优先用线性性、指示变量、函数期望公式；乘积或方差拆分要查独立或协方差条件。

4. **求近似概率**

   区分大数定律的界、中心极限定理的近似；离散到正态时考虑连续性修正。

5. **求估计**

   矩估计列总体矩方程；最大似然保留支持约束并检查边界。

6. **做检验**

   先模型与假设方向，再统计量、原假设分布、拒绝域、数据与结论。

7. **做回归**

   先模型条件，再系数、残差平方和、自由度、检验或预测区间。

> [!IMPORTANT]
> 使用每条公式前都要核对对应知识点中的完整条件与例题。

## 练习

1. 设 $X$ 为首次成功所需的总试验次数，成功概率 $p=0.25$，则 $E(X)=$ \_\_\_\_\_\_（geometric-mean-value）。

   答案：4

   几何分布的期望是 $1/p=4$。同一行的方差是 $(1-p)/p^2=12$，两个公式不要混用。

2. $\chi^2(6)$ 的方差为 \_\_\_\_\_\_（chi-square-variance-value）。

   答案：12

   $\chi^2(\nu)$ 的方差是 $2\nu$，代入 $\nu=6$ 得 $12$。

3. $\sum_{k=0}^{\infty}\left(\dfrac12\right)^k=$ \_\_\_\_\_\_（sum-series-value）。

   答案：2

   等比级数 $\sum_{k=0}^{\infty}q^k=\dfrac{1}{1-q}$，取 $q=1/2$ 得 $2$。

4. 两个独立正态样本的样本量分别为 $n_1=8$ 与 $n_2=6$，方差未知但假定相等。检验均值差时，合并方差对应的 $t$ 分布自由度是 \_\_\_\_\_\_（pooled-df-value）。

   答案：12

   自由度是 $n_1+n_2-2=12$。

5. 正态总体、方差已知，求 $\mu$ 的 $95\%$ 双侧置信区间时应使用

   * A.  $z_{0.05}=1.645$
   * B.  $z_{0.025}=1.960$
   * C.  $z_{0.01}=2.326$
   * D.  $z_{0.005}=2.576$

   答案：B

   双侧区间把 $\alpha=0.05$ 分到两侧，每侧 $0.025$，所以用上侧分位点 $z_{0.025}=1.960$。

6. 设 $0<\alpha<1$。把左侧的F分位点用上侧分位点表示，正确的是

   * A.  $F_{1-\alpha}(\nu_1,\nu_2)=1/F_\alpha(\nu_2,\nu_1)$
   * B.  $F_{1-\alpha}(\nu_1,\nu_2)=1/F_\alpha(\nu_1,\nu_2)$
   * C.  $F_{1-\alpha}(\nu_1,\nu_2)=-F_\alpha(\nu_2,\nu_1)$
   * D.  $F_{1-\alpha}(\nu_1,\nu_2)=F_\alpha(\nu_2,\nu_1)$

   答案：A

   由 $F_\alpha(\nu_1,\nu_2)=1/F_{1-\alpha}(\nu_2,\nu_1)$ 反解，得 $F_{1-\alpha}(\nu_1,\nu_2)=1/F_\alpha(\nu_2,\nu_1)$，两个自由度同时交换位置。