# 经验分布函数

## 定义

设 $X_1,\ldots,X_n$ 为样本，定义

$$
F_n(x)=\frac1n\sum_{i=1}^nI_{\{X_i\le x\}},\qquad -\infty<x<+\infty,
$$

其中 $I_{\{X_i\le x\}}$ 在 $X_i\le x$ 时取 $1$，否则取 $0$。$F_n(x)$ 表示样本中不超过 $x$ 的观测值所占的比例，称为**经验分布函数**。

它的性质：

1. 只取 $0,\frac1n,\frac2n,\ldots,1$ 这些值；
2. 是右连续的阶梯函数，在每个观测值处跳跃，跳跃高度等于该值重复出现的次数乘以 $\frac1n$；
3. 固定 $x$ 时，$nF_n(x)$ 是 $n$ 次独立试验中事件 $\{X\le x\}$ 发生的次数，所以 $nF_n(x)\sim B\bigl(n,F(x)\bigr)$。

由第3条立得

$$
E[F_n(x)]=F(x),\qquad
D[F_n(x)]=\frac{F(x)[1-F(x)]}{n}.
$$

再由大数定律（依概率收敛指：对任意 $\varepsilon>0$，有 $P\{|Y_n-a|\ge\varepsilon\}\to0$，记作 $Y_n\xrightarrow{P}a$），对每个固定的 $x$，

$$
F_n(x)\xrightarrow{P}F(x).
$$

也就是说，样本量增大时，样本中不超过 $x$ 的比例依概率接近总体的概率 $F(x)$。这是用样本来近似总体分布的依据。

## 探索

交互演示：经验分布函数如何计算？。移动阈值，统计不超过阈值的观测值。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 样本观测值为 $1,2,3,4,5$，则经验分布函数在 $x=2$ 处的值 $F_n(2)=$ \_\_\_\_\_\_（empirical-value）。

   答案：0.4

   不超过 $2$ 的观测值有 $1$ 与 $2$ 两个，故 $F_n(2)=\dfrac25=0.4$。