# 估计量的相合性

## 定义

设 $\hat\theta_n$ 是基于容量为 $n$ 的样本得到的估计量。若

$$
\hat\theta_n\xrightarrow{P}\theta,
$$

即对任意 $\varepsilon>0$ 都有

$$
\lim_{n\to\infty}P\{|\hat\theta_n-\theta|\ge\varepsilon\}=0,
$$

则称 $\hat\theta_n$ 为 $\theta$ 的**相合估计量**，也称**一致估计量**。相合性描述样本量增大时的表现，不等同于有限样本下的无偏性。

一个常用的充分条件是

$$
E(\hat\theta_n)\to\theta,\qquad D(\hat\theta_n)\to0.
$$

也就是说，偏差和方差都趋于零时，估计量依概率收敛到真值。

**证明**

由切比雪夫不等式，

$$
P\{|\hat\theta_n-\theta|\ge\varepsilon\}
\le\frac{E[(\hat\theta_n-\theta)^2]}{\varepsilon^2}
=\frac{D(\hat\theta_n)+[\operatorname{Bias}(\hat\theta_n)]^2}{\varepsilon^2}.
$$

当 $E(\hat\theta_n)\to\theta$、$D(\hat\theta_n)\to0$ 时，右边趋于 $0$，所以 $\hat\theta_n\xrightarrow{P}\theta$。这也说明均方误差趋于零是相合性的一个充分条件。

独立同分布且均值存在时，由辛钦大数定律，$\bar X_n$ 是总体均值的相合估计。

> [!NOTE]
> **两种评价回答不同问题**
>
> 无偏性看固定样本量下估计量的平均表现，相合性看样本量趋于无穷时的极限行为。一个估计量可以有偏而相合，也可以无偏而不相合；两者不能互相替代。

## 例子

**均匀总体最大值的修正**

设 $X_1,\ldots,X_n$ 独立同分布于 $U[0,\theta]$，$\theta>0$，$X_{(n)}=\max\{X_1,\ldots,X_n\}$。则

$$
E(X_{(n)})=\frac n{n+1}\theta,\qquad
D(X_{(n)})=\frac{n\theta^2}{(n+1)^2(n+2)}.
$$

由前一式可知，最大似然估计 $X_{(n)}$ 有偏，因为 $E(X_{(n)})\ne\theta$。把它修正为

$$
\tilde\theta=\frac{n+1}{n}X_{(n)},
$$

则

$$
E(\tilde\theta)=\frac{n+1}{n}\cdot\frac n{n+1}\theta=\theta,
$$

所以 $\tilde\theta$ 是无偏估计。

另一方面，对 $0<\varepsilon<\theta$，

$$
P\{|X_{(n)}-\theta|\ge\varepsilon\}
=P\{X_{(n)}\le\theta-\varepsilon\}
=\left(\frac{\theta-\varepsilon}{\theta}\right)^n\to0,
$$

因此 $X_{(n)}$ 依概率收敛到 $\theta$，是有偏但相合的估计。修正后的 $\tilde\theta$ 仍相合。这说明“有偏”和“随样本量增大能否逼近真值”是两种不同的评价。

## 探索

交互演示：样本最大值如何接近总体上界？。查看误差超过给定阈值的理论概率。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 关于点估计的评价标准，下列说法正确的是

   * A.  无偏估计的均方误差一定小于有偏估计
   * B.  两个无偏估计比较时，方差更小者更有效
   * C.  相合性描述的是固定样本量下的精度
   * D.  均方误差可以分解为方差与偏差平方之和

   答案：B、D

   无偏估计只说明平均无系统偏差，方差很大时均方误差仍可能更大；相合性讨论的是样本量趋于无穷时的极限行为；均方误差分解为方差加偏差平方。