# $F$ 分布

## 定义

设 $U\sim\chi^2(\nu_1)$，$V\sim\chi^2(\nu_2)$，其中 $\chi^2(\nu)$ 表示自由度为 $\nu$ 的[卡方分布](/knowledge/maths/statistics/chi-square-distribution/)，且两者相互独立，则

$$
F=\frac{U/\nu_1}{V/\nu_2}\sim F(\nu_1,\nu_2).
$$

$F$ 分布只在非负半轴取值，一般不对称。

## 性质

它有以下两条常用性质：

$$
\frac1F\sim F(\nu_2,\nu_1),\qquad
F_\alpha(\nu_1,\nu_2)=\frac{1}{F_{1-\alpha}(\nu_2,\nu_1)}.
$$

这里 $F_\alpha(\nu_1,\nu_2)$ 表示右侧尾概率为 $\alpha$ 的上侧分位点，一般约定见[上侧分位点](/knowledge/maths/statistics/upper-tail-quantile/)。交换自由度时，原分布的 $(1-\alpha)$ 分位点要对应交换后的 $\alpha$ 分位点。

分子与分母的自由度顺序不能交换：$F(\nu_1,\nu_2)$ 与 $F(\nu_2,\nu_1)$ 是两个不同的分布。

还有一个与 [$t$ 分布](/knowledge/maths/statistics/t-distribution/)的联系：若 $T\sim t(\nu)$，则

$$
T^2\sim F(1,\nu).
$$

## 交互探索

交互演示：交换自由度会怎样改变 \$F\$ 分布？。比较原自由度和交换自由度后的两条 \$F\$ 分布密度曲线。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 若 $T\sim t(10)$，则 $T^2$ 服从

   * A.  $F(1,10)$
   * B.  $F(10,1)$
   * C.  $\chi^2(10)$
   * D.  $t(10)$

   答案：A

   $t$ 分布的变量是标准正态除以卡方的根号，平方后分子为 $Z^2\sim\chi^2(1)$，分母为 $\chi^2(10)/10$，故 $T^2\sim F(1,10)$。自由度顺序是分子的 $1$ 在前。