# 分布拟合检验

## 定义

把样本结果划分为 $k$ 个互斥且完备的类别，第 $i$ 类的观察频数记为 $O_i$。原假设下第 $i$ 类的概率为 $p_i$，样本量为 $n$，则期望频数为

$$
E_i=np_i,\qquad \sum_{i=1}^kO_i=n,\qquad \sum_{i=1}^kp_i=1.
$$

卡方拟合优度统计量定义为

$$
Q=\sum_{i=1}^k\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}.
$$

若原假设完全指定了各类概率，并且样本满足大样本近似条件，则

$$
Q\approx\chi^2(k-1).
$$

$Q$ 衡量观察频数偏离期望频数的程度：$Q=0$ 当且仅当每类都有 $O_i=E_i$，$Q$ 越大，数据与假设分布越不一致。因此检验只在右尾拒绝：

$$
Q>\chi^2_\alpha(k-1).
$$

这里的 $\chi^2_\alpha(\nu)$ 是上 $\alpha$ 分位点，满足 $P\{\chi^2(\nu)>\chi^2_\alpha(\nu)\}=\alpha$，记号与[上侧分位点](/knowledge/maths/statistics/upper-tail-quantile/)一致。

> [!NOTE]
> **“完全指定”的含义**
>
> 上式中的自由度 $k-1$ 以 $p_i$ 全部已知、没有用同一样本估计分布参数为前提。如果先由样本估计了参数，自由度要相应减少，见下文。

## 性质与适用条件

### 参数由样本估计时的自由度

若假设分布中有 $r$ 个独立参数由同一样本适当估计，在常用正则条件及相应估计方法下，使用近似自由度

$$
\nu=k-1-r.
$$

例如拟合参数未知的泊松分布通常减去 $1$；拟合均值、方差均未知的正态分布通常减去 $2$。分组后估计参数的方法应与所用卡方近似相匹配，不能对任意估计方法都无条件套该规则。

1. **先确定最终类别数**

   合并稀疏类别之后，类别数才是参与计算自由度与统计量的 $k$。

2. **扣除总频数约束**

   各类期望频数之和等于 $n$，这一个约束已经体现在 $k-1$ 中。

3. **再扣除估计参数数**

   从 $k-1$ 中减去 $r$，并确认 $\nu>0$；自由度为非正时，这组数据与所选近似不匹配。

### 分组与期望频数

卡方近似要求期望频数不能过小。入门计算通常要求各组期望频数不小于 $5$；这是一种常用的保守规则，不是精确的适用性分界。

连续分布需要分组。若组边界为

$$
a_0=-\infty<a_1<\cdots<a_k=+\infty,
$$

则第 $i$ 组的理论概率为

$$
p_i=F(a_i)-F(a_{i-1}),
$$

其中 $F$ 是原假设下的分布函数。尾部不能遗漏：第一组从 $-\infty$ 到 $a_1$，最后一组从 $a_{k-1}$ 到 $+\infty$。拟合泊松分布时，最后一组常取“$m$ 次及以上”，而不是在最大观察值处截断概率。

稀疏类别可以合理合并；合并后要重新计算期望频数与自由度。若原假设给某类别零概率，而该类别出现正频数，原假设已经与数据直接矛盾，不能计算除以零的项。

> [!WARNING]
> **$E_i\ge5$ 是经验规则**
>
> 它只是常用的保守处理方式。期望频数略小并不自动使检验失效，期望频数过小也不能靠这条规则“修好”；关键仍是合并的合理性以及近似分布是否适用。

## 例子

**掷骰子 $60$ 次，检验骰子是否公平**

掷一枚骰子 $60$ 次，六个点数的观察频数依次为 $8,12,9,11,10,10$。原假设 $H_0$ 为每个点数概率都是 $1/6$，于是每类期望频数都是

$$
E_i=60\times\frac16=10.
$$

统计量为

$$
Q=\frac{(8-10)^2+(12-10)^2+(9-10)^2+(11-10)^2+(10-10)^2+(10-10)^2}{10}=1.
$$

原假设完全指定了概率，没有估计参数，所以 $r=0$，自由度为

$$
\nu=6-1=5.
$$

取 $\alpha=0.05$，查表得 $\chi^2_{0.05}(5)\approx11.070$。因为 $Q=1<11.070$，不拒绝公平性假设。

> [!NOTE]
> **结论的范围**
>
> 不拒绝 $H_0$ 只说明“没有发现足够的不公平证据”，不能由此证明骰子绝对公平。样本量增大后，同样的偏差可能变得可检出。

## 探索

交互演示：观察频数偏离公平骰子模型时发生什么？。固定总次数，比较观察频数和期望频数。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 掷骰子 $60$ 次检验骰子是否公平，统计量 $Q$ 的自由度是 \_\_\_\_\_\_（die-df-value）。

   答案：5

   六个类别完全指定概率，$r=0$，所以 $\nu=6-1=5$。

2. 把数据分成 $5$ 个类别，拟合参数 $\lambda$ 未知的泊松分布，并用同一样本估计 $\lambda$。卡方统计量的近似自由度是 \_\_\_\_\_\_（poisson-df-value）。

   答案：3

   $k=5$，$r=1$，所以 $\nu=5-1-1=3$。

3. 卡方拟合优度检验的拒绝域位于卡方分布的哪一侧？

   * A.  左尾
   * B.  右尾
   * C.  双侧，各取 $\alpha/2$
   * D.  由备择假设的方向决定

   答案：B

   $Q$ 越大表示观察频数越偏离原假设，因此只在右尾拒绝。