# 假设检验

## 定义

**假设检验**先对总体参数提出两个互相对立的假设，再用样本判断是否有足够证据拒绝其中一个：

* **原假设** $H_0$：接受检验的基准主张，通常表示“没有差异”“没有效应”，或参数等于某个给定值。
* **备择假设** $H_1$：希望用数据发现证据支持的方向，与原假设互补。

按备择假设的方向，检验分为三类：

| 类型 | 常用写法                                          | 拒绝方向     |
| :- | :-------------------------------------------- | :------- |
| 双侧 | $H_0:\theta=\theta_0,\ H_1:\theta\ne\theta_0$ | 统计量过大或过小 |
| 右侧 | $H_0:\theta\le\theta_0,\ H_1:\theta>\theta_0$ | 统计量过大    |
| 左侧 | $H_0:\theta\ge\theta_0,\ H_1:\theta<\theta_0$ | 统计量过小    |

检验统计量只由样本决定，并在 $H_0$ 下服从已知分布；使 $H_0$ 被拒绝的样本取值范围称为**拒绝域**。单侧检验的参考分布通常取在边界 $\theta=\theta_0$ 处：$H_0$ 允许一整段参数值，但常用检验的拒绝概率在边界处最大，控制住边界就控制住整个原假设。检验方向必须依据研究问题在收集数据之前确定，不能看过样本结果后再选择更容易显著的一侧。

## 性质

### 检验步骤

1. **明确模型与参数**

   写清总体分布、样本结构、待检验的参数，以及哪些量已知。

2. **提出假设并选定水平**

   写出 $H_0$ 与 $H_1$，根据研究问题确定单侧或双侧，并事先选定显著性水平 $\alpha$。

3. **构造检验统计量**

   选择在 $H_0$ 下分布已知的统计量，并写出该分布与自由度。

4. **确定拒绝域或计算 $p$ 值**

   按备择方向把 $\alpha$ 放到对应的一侧或两侧，得到拒绝域；或者由观测值计算 $p$ 值。

5. **下结论并解释**

   代入数据，作出“拒绝 $H_0$”或“不拒绝 $H_0$”的判断，再把结论翻译回实际问题。

> [!WARNING]
> **不拒绝不等于证明原假设正确**
>
> 样本信息不足时，实际存在的差异也可能检不出来。“不拒绝 $H_0$”只表示当前数据没有提供足够证据，不表示 $H_0$ 成立，也不表示两组完全相同。

### 与置信区间的关系

对采用同一模型、同一枢轴量的双侧检验，显著性水平为 $\alpha$ 时拒绝 $H_0:\theta=\theta_0$，等价于相应的 $1-\alpha$ 置信区间不包含 $\theta_0$。两种表述来自同一个不等式，只是把参数与观测值的位置互换：

$$
\left|\frac{\hat\theta-\theta_0}{\mathrm{SE}}\right|>c
\quad\Longleftrightarrow\quad
\theta_0\notin\bigl[\hat\theta-c\,\mathrm{SE},\ \hat\theta+c\,\mathrm{SE}\bigr].
$$

式中 $\hat\theta$ 是 $\theta$ 的一个估计（例如均值检验中的 $\bar X$），$\mathrm{SE}$ 是它的标准误，$c$ 是相应分布的上 $\alpha/2$ 分位点。区间估计的构造与各种情形的公式见[区间估计](/knowledge/maths/statistics/interval-estimation/)。

这个等价关系有前提：检验与区间必须使用相同的模型、相同的统计量（枢轴量）和相同的尾概率分配。若其中一方用了近似方法，或者单侧与双侧、尾概率分配不同，就不能机械地把区间结论搬成检验结论。此外，大量重复做检验会增大“至少有一次误拒绝”的概率，单次检验的 $\alpha$ 不能当作整体错误率。

## 例子

**双侧z检验与置信区间**

某正态总体的标准差已知为 $\sigma=10$，取 $n=25$ 的样本得 $\bar x=104$。检验

$$
H_0:\mu=100\qquad\text{与}\qquad H_1:\mu\ne100,
$$

取 $\alpha=0.05$，$z_{0.025}=1.96$。检验统计量为

$$
z=\frac{\bar x-\mu_0}{\sigma/\sqrt n}=\frac{104-100}{10/5}=2.
$$

双侧 $p$ 值为

$$
p=2[1-\Phi(2)]=2(1-0.9772)=0.0456<0.05,
$$

所以拒绝 $H_0$。同一数据的 $95\%$ 置信区间为 $104\pm1.96\times2=[100.08,\ 107.92]$，不包含 $100$，与检验结论一致。

**单侧检验与单侧置信限**

同一组数据，若研究问题只关心 $\mu$ 是否大于 $100$，应取

$$
H_0:\mu\le100\qquad\text{与}\qquad H_1:\mu>100.
$$

$z=2$，右侧 $p$ 值为 $p=1-\Phi(2)=0.0228<0.05$，拒绝 $H_0$。相应的 $95\%$ 置信下限为

$$
104-1.645\times\frac{10}{5}=100.71,
$$

整个区间 $[100.71,+\infty)$ 都在 $100$ 的右侧，同样支持拒绝 $\mu\le100$。单侧检验把 $\alpha$ 全部放在一侧，所以用 $z_{0.05}=1.645$ 而不是 $z_{0.025}$。

## 探索

交互演示：检验结果与置信区间如何对应？。改变样本均值，比较双侧检验与区间。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 某双侧检验与相应的 $95\%$ 置信区间使用同一模型与同一枢轴量。置信区间为 $[100.08,\ 107.92]$，在 $\alpha=0.05$ 下检验 $H_0:\mu=100$，结论是

   * A.  拒绝 $H_0$
   * B.  不拒绝 $H_0$
   * C.  无法判断
   * D.  必须重新计算 $p$ 值才能判断

   答案：A

   区间不包含 $\mu_0=100$，与双侧检验在 $\alpha=0.05$ 下拒绝 $H_0$ 等价。前提是检验与区间使用同一模型、同一枢轴量和同一尾概率分配。