# 独立样本均值差的置信区间

## 定义与构造

以下区间以 $1-\alpha$ 为置信水平，分位点采用[上侧分位点约定](/knowledge/maths/statistics/upper-tail-quantile/)。

设 $X_1,\ldots,X_{n_1}$ 与 $Y_1,\ldots,Y_{n_2}$ 分别来自 $N(\mu_1,\sigma_1^2)$ 与 $N(\mu_2,\sigma_2^2)$，两个样本相互独立，$n_1,n_2\ge2$，样本均值与样本方差记为

$$
\bar X,\ \bar Y,\ S_1^2,\ S_2^2,
$$

其中 $S_i^2$ 的分母是 $n_i-1$。下面把区间写成“中心 $\pm$ 半宽”，$\pm$ 表示闭区间的两个端点。

### 方差已知

$$
\mu_1-\mu_2\in(\bar X-\bar Y)\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}.
$$

### 均值差：方差未知但相等

令合并方差

$$
S_p^2=\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2},
$$

则

$$
\mu_1-\mu_2\in(\bar X-\bar Y)\pm t_{\alpha/2}(n_1+n_2-2)\,S_p\sqrt{\frac1{n_1}+\frac1{n_2}}.
$$

合并方差以两组的自由度为权重，自由度相加得 $n_1+n_2-2$。

### 均值差：方差不假定相等

用Welch近似，标准误为 $\sqrt{\dfrac{S_1^2}{n_1}+\dfrac{S_2^2}{n_2}}$，近似自由度为

$$
\nu=\frac{\left(\dfrac{S_1^2}{n_1}+\dfrac{S_2^2}{n_2}\right)^2}{\dfrac{(S_1^2/n_1)^2}{n_1-1}+\dfrac{(S_2^2/n_2)^2}{n_2-1}},
$$

$\mu_1-\mu_2$ 的近似区间为

$$
(\bar X-\bar Y)\pm t_{\alpha/2}(\nu)\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1}+\frac{S_2^2}{n_2}}.
$$

$\nu$ 由样本估计，通常不是整数。方差不相等时仍套用合并方差公式，会错误地估计标准误，区间不再具有所声称的置信水平。

## 例子

**两个正态总体均值差的区间**

两组样本量都是 $10$，$s_1^2=4$，$s_2^2=6$，$\bar x-\bar y=1.2$，$\alpha=0.05$。方差相等时

$$
S_p^2=\frac{9\times4+9\times6}{18}=5,\qquad S_p=\sqrt5.
$$

自由度 $18$，$t_{0.025}(18)=2.1009$，半宽为

$$
2.1009\times\sqrt5\times\sqrt{\frac1{10}+\frac1{10}}=2.1009.
$$

区间约为 $[-0.901,\ 3.301]$，包含 $0$，与“两组均值没有显著差异”的判断一致。若方差不假定相等，应改用Welch近似，而不是这个合并方差区间。

## 探索

交互演示：独立样本的均值差区间怎样变化？。线段表示均值差区间，圆点表示样本均值差，虚线表示零。 请在站点操作演示。