# 置信区间

## 定义与构造

设总体分布含未知参数 $\theta\in\Theta$，$X=(X_1,\ldots,X_n)$ 是来自该分布的简单随机样本（独立同分布），$L(X)$ 与 $U(X)$ 是统计量且 $L(X)\le U(X)$。若对每个 $\theta\in\Theta$ 都有

$$
P_\theta\{L(X)\le\theta\le U(X)\}=1-\alpha,
$$

则称随机区间 $[L(X),U(X)]$ 为 $\theta$ 的**置信水平** $1-\alpha$（也称置信度）的**置信区间**，$1-\alpha$ 称为覆盖概率。若只能保证覆盖概率近似等于 $1-\alpha$，则称为**近似置信区间**。

这里 $\theta$ 固定，随机的是抽样产生的区间。置信水平的含义是：反复使用同一抽样与构造过程，约有 $100(1-\alpha)\%$ 的区间覆盖真参数。观测到具体区间 $[l,u]$ 之后，不能再说“$\theta$ 以 $1-\alpha$ 的概率落入 $[l,u]$”：此时 $\theta$ 与端点都已确定，区间要么覆盖它，要么不覆盖。

构造区间通常借助**枢轴量**：样本与参数的函数 $G(X,\theta)$，它的分布完全已知，且不依赖任何未知参数（包括 $\theta$ 本身）。若

$$
P\{a\le G(X,\theta)\le b\}=1-\alpha,
$$

就把 $a\le G(X,\theta)\le b$ 当作关于 $\theta$ 的不等式解出，得到 $\theta$ 的置信区间。$a,b$ 常按两侧各留 $\alpha/2$ 的尾概率选取；同一置信水平下的区间不唯一，等尾取法只是常用选择。统计量与枢轴量的区别见[简单随机样本](/knowledge/maths/statistics/sample-statistic/)与[统计量](/knowledge/maths/statistics/statistics/)。

1. **确定参数与模型**

   写清总体分布、样本结构、待估参数，以及哪些量已知。

2. **选枢轴量**

   找分布已知且不含未知参数的 $G(X,\theta)$，常见的是 $z$、$t$、$\chi^2$、$F$ 型统计量。

3. **取概率为 $1-\alpha$ 的区间**

   双侧按各 $\alpha/2$ 的尾概率取两个分位点；单侧只在一侧留 $\alpha$。

4. **解出参数范围**

   把不等式变形为 $L(X)\le\theta\le U(X)$，并检查端点顺序。

5. **说明前提与近似**

   正态样本的结论是精确的；Welch近似与大样本区间要写明“近似”。

## 性质

对常见的正态均值对称区间，半宽 $d$ 与总长度 $2d$ 反映估计的精度。下面比较假定区间构造方法与其他条件保持不变。

* 置信水平 $1-\alpha$ 提高时，$\alpha$ 变小，分位点变大，区间变宽。想要更高的把握，就要接受更宽的区间。
* 总体标准差已知且固定时，样本量 $n$ 增大会使标准误 $\sigma/\sqrt n$ 变小。使用样本标准差时，$S$ 与 $t$ 分位点也会随样本变化，不能保证每次增加样本都使区间变短。
* 这类区间的总长度是半宽的两倍，报告精度时要写清用的是半宽还是全长。
* 对同一观测结果和同一构造方法，提高置信水平会使这类区间变宽。设计阶段可通过增加样本量等方式，在更高置信水平下控制区间宽度。

不同参数和样本结构对应不同的构造方法，见[均值区间](/knowledge/maths/statistics/mean-confidence-interval/)、[正态总体方差区间](/knowledge/maths/statistics/variance-confidence-interval/)、[独立样本均值差区间](/knowledge/maths/statistics/independent-mean-confidence-interval/)、[配对均值差区间](/knowledge/maths/statistics/paired-mean-confidence-interval/)、[方差比区间](/knowledge/maths/statistics/variance-ratio-confidence-interval/)和[比例的Wald区间](/knowledge/maths/statistics/wald-confidence-interval/)。

## 探索

交互演示：置信水平描述的是哪种重复过程？。比较固定示例中不同样本得到的区间。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 关于置信区间的解释，下列说法正确的是

   * A.  重复同一抽样与构造过程，约 $95\%$ 的区间覆盖真参数
   * B.  观测到的某个 $95\%$ 区间以 $0.95$ 的概率包含真参数
   * C.  对同一观测结果，用相同的正态均值区间方法提高置信水平会使区间变宽
   * D.  样本量增大时，区间长度一定按 $1/\sqrt n$ 严格缩短

   答案：A、C

   置信水平是重复抽样下的覆盖比例，不是某个已观测区间的概率；提高置信水平要求更大的分位点，区间变宽。样本量增大时区间通常变短，但 $S$ 与 $t$ 分位点也随 $n$ 变化，不能断言严格按 $1/\sqrt n$ 缩短。