# 矩估计

## 定义

记样本的 $k$ 阶原点矩为

$$
A_k=\frac1n\sum_{i=1}^nX_i^k,
$$

总体的 $k$ 阶原点矩为 $\mu_k(\theta)=E_\theta(X^k)$。矩估计法用样本矩代替总体矩，令

$$
E_\theta(X^k)=A_k,\qquad k=1,\ldots,r,
$$

其中 $r$ 是待估参数的个数，通常使用前 $r$ 阶矩。解这个方程组，把解记为 $\hat\theta_{\mathrm{MM}}$，就得到矩估计量。

使用矩估计法时要检查三件事：相应的总体矩存在；方程能够识别参数，即不同的参数值不会给出完全相同的矩；解落在参数空间 $\Theta$ 内。方程组可能有多个解，也可能没有符合要求的解；出现这些情况时，不能不加说明地把某一个解当作矩估计。

## 例子

**正态总体两个参数未知**

设 $X_1,\ldots,X_n$ 独立同分布于 $N(\mu,\sigma^2)$，$\mu$ 与 $\sigma^2$ 都未知。由

$$
E(X)=\mu,\qquad E(X^2)=\mu^2+\sigma^2
$$

令它们分别等于 $A_1=\bar X$ 与 $A_2=\frac1n\sum_iX_i^2$，解得

$$
\hat\mu=\bar X,\qquad
\hat\sigma^2=\frac1n\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2.
$$

这里方差估计的分母是 $n$，不是无偏样本方差所用的 $n-1$。矩估计不自动保证无偏，分母的差别正是评价估计量时要检查的地方。

**均匀分布 $U[0,\theta]$ 的矩估计**

设 $X_1,\ldots,X_n$ 独立同分布于 $U[0,\theta]$，$\theta>0$。由 $E(X)=\theta/2$ 得矩估计

$$
\hat\theta_{\mathrm{MM}}=2\bar X.
$$

这个估计量可能小于样本最大值 $X_{(n)}$。一旦出现这种情况，估计值所对应的模型区间 $[0,\hat\theta_{\mathrm{MM}}]$ 就容不下已经观测到的样本，说明矩估计并不会自动满足参数与样本支持的约束。

## 交互探索

交互演示：矩估计能否容纳全部样本？。调整三个观测值，比较样本均值、矩估计上界与样本最大值。 请在站点操作演示。