# 多元回归的整体显著性检验

## 定义

考虑含截距的[多元线性回归](/knowledge/maths/statistics/multiple-linear-regression/)：有 $n$ 个观测与 $p$ 个斜率，设计矩阵满列秩，$n>p+1$。假定误差相互独立且服从 $N(0,\sigma^2)$，记误差方差估计为 $s^2=SSE/(n-p-1)$，并采用[上侧分位点](/knowledge/maths/statistics/upper-tail-quantile/)。

整体检验的原假设是所有斜率同时为零：

$$
H_0:\beta_1=\cdots=\beta_p=0.
$$

含截距时仍有平方和分解

$$
SST=\sum_{i=1}^n(Y_i-\bar Y)^2=SSR+SSE,
$$

其中 $SSR$ 是回归平方和。在 $H_0$ 与正态误差下，

$$
F=\frac{SSR/p}{SSE/(n-p-1)}\sim F(p,n-p-1).
$$

当 $F>F_\alpha(p,n-p-1)$ 时拒绝 $H_0$，认为至少有一个斜率不为零。这里 $F_\alpha$ 是上侧 $\alpha$ 分位点，检验只用右尾。

整体显著只说明 $p$ 个斜率中至少有一个不为零，并不保证每个解释变量都显著，也不指出是哪一个变量在起作用。要定位具体变量，还要逐个检查单个系数，或者比较嵌套模型。

## 探索

交互演示：整体显著是否意味着每个系数都显著？。在同一组构造数据中比较整体F与单个系数的t检验。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 某多元回归的整体 $F$ 检验显著，但每个系数的 $t$ 检验都不显著。下列解释最合理的是

   * A.  计算一定出错，两种检验不可能出现这种结果
   * B.  解释变量之间高度相关，整体检验捕捉到共同解释能力，而单个系数在保留其他变量后没有额外贡献
   * C.  整体 $F$ 检验显著说明每个系数都不为零
   * D.  只要 $R^2$ 大于 $0.9$，单个 $t$ 检验就必然显著

   答案：B

   整体检验与单个检验回答不同问题；多重共线性会使系数标准误变大，从而出现整体显著而单个不显著的情形。