# 多元回归的均值区间与预测区间

## 定义

考虑含截距的[多元线性回归](/knowledge/maths/statistics/multiple-linear-regression/)：有 $n$ 个观测与 $p$ 个斜率，设计矩阵满列秩，$n>p+1$。假定误差相互独立且服从 $N(0,\sigma^2)$，记误差方差估计为 $s^2=SSE/(n-p-1)$，并采用[上侧分位点](/knowledge/maths/statistics/upper-tail-quantile/)。

在 $\boldsymbol x_0=(1,x_{01},\ldots,x_{0p})^{\mathsf T}$ 处，点预测为

$$
\hat y_0=\boldsymbol x_0^{\mathsf T}\hat{\boldsymbol\beta}.
$$

条件均值 $E(Y\mid \boldsymbol x_0)$ 的 $1-\alpha$ 置信区间半宽为

$$
t_{\alpha/2}(n-p-1)s\sqrt{\boldsymbol x_0^{\mathsf T}C\boldsymbol x_0}.
$$

与已有观测独立、在 $\boldsymbol x_0$ 处服从同一模型且具有相同误差方差的新观测 $Y_0$ 的预测区间，根号内还要再加 $1$，半宽为

$$
t_{\alpha/2}(n-p-1)s\sqrt{1+\boldsymbol x_0^{\mathsf T}C\boldsymbol x_0}.
$$

多出的 $1$ 对应新个体自身的随机波动，所以预测区间总比同一位置的均值响应区间宽。

## 探索

交互演示：预测点的杠杆值如何影响区间？。比较均值响应与独立新观测的区间宽度。 请在站点操作演示。