# 单个正态总体均值检验 ## 定义 设 $X_1,\ldots,X_n$ 是来自正态总体 $N(\mu,\sigma^2)$ 的简单随机样本，$\bar X$ 与 $S^2$ 分别为样本均值和分母为 $n-1$ 的样本方差。检验以原假设为基准，方向和显著性水平应事先确定。 ## 性质 检验 $H_0:\mu=\mu_0$ 时，统计量的选择只取决于 $\sigma$ 是否已知。 **方差已知。** 此时 $\sigma$ 是已知常数，用 $$ Z=\frac{\bar X-\mu_0}{\sigma/\sqrt n}\sim N(0,1)\qquad(H_0:\mu=\mu_0). $$ **方差未知。** 此时 $\sigma$ 只能由样本估计，把分母中的 $\sigma$ 换成样本标准差 $S$，用 $$ T=\frac{\bar X-\mu_0}{S/\sqrt n}\sim t(n-1)\qquad(H_0:\mu=\mu_0). $$ 两个统计量的差别只在分母：一个是已知的 $\sigma/\sqrt n$，另一个是由同一样本算出的 $S/\sqrt n$，也就是**标准误**。换用 $S$ 之后分布也从标准正态变成自由度为 $n-1$ 的 $t$ 分布，自由度来自 $S^2$ 中 $\bar X$ 占用了一个约束。 以下 $q_\alpha$ 在 $Z$ 检验中表示 $z_\alpha$，在 $t$ 检验中表示 $t_\alpha(n-1)$，均为上 $\alpha$ 分位点；两种检验的拒绝域形状相同： | 备择假设 | 拒绝域 | | :------------ | :----------------------------------------------------------------- | | $\mu\ne\mu_0$ | $\lvert Z\rvert>z_{\alpha/2}$ 或 $\lvert T\rvert>t_{\alpha/2}(n-1)$ | | $\mu>\mu_0$ | 统计量大于 $q_{\alpha}$ | | $\mu<\mu_0$ | 统计量小于 $q_{1-\alpha}=-q_{\alpha}$ | 双侧检验把 $\alpha$ 平均分到两侧尾部，所以用 $\alpha/2$ 的分位点；单侧检验把整个 $\alpha$ 放在备择假设所指的那一侧。备择方向必须由研究问题事先确定，不能看了数据再挑方向。 > [!IMPORTANT] > **方差未知时不能仍称精确的 $Z$ 检验** > > 只要分母里出现的是由同一样本算出的 $s$，统计量就不再服从标准正态分布，不能继续用 $z_{\alpha/2}$ 作临界值，也不能因为“$n$ 不算太小”就把 $t$ 检验写成 $Z$ 检验。一般总体的大样本下可以使用渐近正态近似，但必须说明近似条件；只有 $\sigma$ 确实已知时，$Z$ 检验才是精确的。 ## 例子 **方差未知时的均值检验** 已知总体正态但方差未知，$n=16$，$\bar x=52$，$s=4$。检验 $H_0:\mu=50$ 对 $H_1:\mu\ne50$，取 $\alpha=0.05$。 用 $t$ 统计量： $$ t=\frac{52-50}{4/\sqrt{16}}=2. $$ 临界值为 $t_{0.025}(15)\approx2.131$，而 $2<2.131$，所以不拒绝 $H_0$。这个结论的含义是：当前样本没有提供足够证据表明均值偏离 $50$，并不是证明了均值等于 $50$。 若研究问题事先规定为右侧检验 $H_1:\mu>50$，比较的就是 $t_{0.05}(15)\approx1.753$，同一个 $t=2$ 会落入拒绝域，结论随之改变。两个检验回答的是不同问题，不能因为双侧检验不显著就事后改用单侧检验报告。 ## 探索 交互演示：样本均值与样本量如何影响均值检验？。计算正态总体方差已知时的双侧Z检验。 请在站点操作演示。 ## 练习 1. 设总体正态、方差未知，抽取 $n=9$ 个样本，算得 $\bar x=12$，$s=3$。检验 $H_0:\mu=10$ 时，$t$ 统计量的值为 \_\_\_\_\_\_（t-value）。 答案：2 $$ t=\frac{\bar x-\mu_0}{s/\sqrt n}=\frac{12-10}{3/\sqrt9}=\frac{2}{1}=2. $$ 2. 设总体正态，方差未知，$n=12$。检验 $H_0:\mu=\mu_0$ 应使用 * A. $Z=\dfrac{\bar X-\mu_0}{\sigma/\sqrt n}\sim N(0,1)$ * B. $T=\dfrac{\bar X-\mu_0}{S/\sqrt n}\sim t(11)$ * C. $Q=\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}\sim\chi^2(11)$ * D. $T=\dfrac{\bar X-\mu_0}{S/\sqrt n}\sim t(12)$ 答案：B 方差未知时只能用样本标准差 $S$，统计量服从 $t(n-1)=t(11)$。自由度由 $S^2$ 中 $\bar X$ 占用的一个约束决定，是 $11$ 而不是 $12$；$Q$ 检验的是方差，不是均值。 3. 对某个正态总体检验 $H_0:\mu=50$，取 $\alpha=0.05$，算得 $\lvert t\rvert