# 单个正态总体方差检验

## 定义

设 $X_1,\ldots,X_n$ 是来自正态总体 $N(\mu,\sigma^2)$ 的简单随机样本，$\bar X$ 与 $S^2$ 分别为样本均值和分母为 $n-1$ 的样本方差。检验以原假设为基准，方向和显著性水平应事先确定。

## 性质

均值未知时，检验 $H_0:\sigma^2=\sigma_0^2$ 使用

$$
Q=\frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}\sim\chi^2(n-1).
$$

记 $\nu=n-1$，拒绝域按备择方向取：

| 备择假设                    | 拒绝域                                                       |
| :---------------------- | :-------------------------------------------------------- |
| $\sigma^2\ne\sigma_0^2$ | $Q<\chi_{1-\alpha/2}^2(\nu)$ 或 $Q>\chi_{\alpha/2}^2(\nu)$ |
| $\sigma^2>\sigma_0^2$   | $Q>\chi_{\alpha}^2(\nu)$                                  |
| $\sigma^2<\sigma_0^2$   | $Q<\chi_{1-\alpha}^2(\nu)$                                |

> [!WARNING]
> **卡方分布不对称**
>
> 卡方分布只在非负半轴取值且右尾较长，没有 $z_{1-\alpha}=-z_\alpha$ 那样的对称关系，所以双侧拒绝域不能写成“绝对值超过某个对称临界值”。两侧的临界值 $\chi_{1-\alpha/2}^2(\nu)$ 与 $\chi_{\alpha/2}^2(\nu)$ 需要分别查表；其中 $\chi_{1-\alpha/2}^2(\nu)$ 位于分布的左侧，满足 $P\{Q\le\chi_{1-\alpha/2}^2(\nu)\}=\alpha/2$。

上面的公式以 $\mu$ 未知、用 $\bar X$ 估计中心为前提。若总体均值 $\mu$ **已知**，就不必再估计它，改用

$$
\frac{\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2}{\sigma_0^2}\sim\chi^2(n),
$$

自由度相应地从 $n-1$ 改成 $n$。自由度不同的卡方分位点不能互换。

## 例子

**方差检验的双侧与单侧**

设总体正态、均值未知，$n=16$，样本方差 $s^2=16$，检验 $H_0:\sigma^2=9$。

$$
Q=\frac{15\times16}{9}\approx26.67,\qquad \nu=15.
$$

若备择假设为 $\sigma^2>9$，临界值为 $\chi_{0.05}^2(15)\approx24.996$，$Q$ 超过它，拒绝 $H_0$，认为方差偏大。

一旦把问题改成双侧 $H_1:\sigma^2\ne9$，就要同时看两侧：$\chi_{0.975}^2(15)\approx6.262$，$\chi_{0.025}^2(15)\approx27.488$。此时 $Q\approx26.67$ 落在两个临界值之间，不拒绝 $H_0$。同一个统计量在两套假设下给出不同结论，原因只是拒绝域的范围变了。

## 探索

交互演示：方差检验的统计量与自由度怎样计算？。改变样本量与样本方差，计算卡方统计量。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 设总体正态，均值 $\mu$ 已知，用 $\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2/\sigma_0^2$ 检验 $H_0:\sigma^2=\sigma_0^2$，样本容量 $n=10$，该统计量服从的卡方分布的自由度为 \_\_\_\_\_\_（df-value）。

   答案：10

   中心用的是已知的 $\mu$，没有用 $\bar X$ 去估计它，因而不损失自由度，自由度就是 $n=10$。若改用样本均值 $\bar X$，自由度为 $n-1=9$。