# 次序统计量

## 定义

把样本按从小到大重新排列，记

$$
X_{(1)}\le X_{(2)}\le\cdots\le X_{(n)}.
$$

$X_{(k)}$ 称为第 $k$ 个**次序统计量**。其中 $X_{(1)}=\min_iX_i$ 是样本最小值，$X_{(n)}=\max_iX_i$ 是样本最大值，样本中位数也是由次序统计量定义的。

设总体是连续型，分布函数为 $F$，密度为 $f$，则 $X_{(k)}$ 的密度为

$$
f_{X_{(k)}}(x)=\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}\bigl[F(x)\bigr]^{k-1}\bigl[1-F(x)\bigr]^{n-k}f(x).
$$

**证明**

考察 $X_{(k)}$ 落在小区间 $(x,x+\mathrm dx]$ 内的概率。要使第 $k$ 小的观测值落在这个区间里，必须做到三件事：

* 恰有一个观测值落在 $(x,x+\mathrm dx]$，其概率为 $f(x)\,\mathrm dx$；
* 有 $k-1$ 个观测值落在 $x$ 以下，每个的概率为 $F(x)$；
* 其余 $n-k$ 个观测值落在 $x+\mathrm dx$ 以上，每个的概率为 $1-F(x)$。

样本独立，所以可以把这些概率直接相乘，再乘上把 $n$ 个观测值分配到三类位置的分法数 $\dfrac{n!}{1!\,(k-1)!\,(n-k)!}$，得到

$$
P\{x<X_{(k)}\le x+\mathrm dx\}
=\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}\bigl[F(x)\bigr]^{k-1}\bigl[1-F(x)\bigr]^{n-k}f(x)\,\mathrm dx.
$$

两边除以 $\mathrm dx$ 即得密度。

> [!WARNING]
> **次序统计量一般不独立**
>
> 原样本 $X_1,\ldots,X_n$ 独立，但排序后的 $X_{(1)},\ldots,X_{(n)}$ 不独立。直观上，知道最小的观测值偏大，其余观测值只会更大。因此对次序统计量不能沿用“独立变量和的方差等于方差之和”这类结论。

## 探索

交互演示：排序后第k个值是什么？。改变一个观测值和次序，查看排序结果。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 关于次序统计量 $X_{(1)},\ldots,X_{(n)}$，下列叙述正确的是

   * A.  它们相互独立，因为原样本相互独立
   * B.  它们一般相互独立
   * C.  它们一般不独立
   * D.  只有 $X_{(1)}$ 与 $X_{(n)}$ 相互独立

   答案：C

   排序引入了约束 $X_{(1)}\le\cdots\le X_{(n)}$，各次序统计量的取值互相牵制，一般不独立，也不存在“两端独立”的结论。原样本的独立性不能传递到排序后的变量上。