# $p$ 值

## 定义

**$p$ 值**是在 $H_0$ 成立的前提下，出现与观测结果同样极端或更极端结果的概率。“极端”的方向由备择假设与检验统计量事先规定，不能事后挑选。

若检验统计量在 $H_0$ 下服从标准正态分布，观测值为 $z$，则

$$
\text{右侧：}\ p=1-\Phi(z),\qquad
\text{左侧：}\ p=\Phi(z),\qquad
\text{双侧：}\ p=2[1-\Phi(|z|)],
$$

其中 $\Phi$ 是标准正态分布函数。本页用 $z_\alpha$ 表示标准正态的上 $\alpha$ 分位点，即 $P\{Z>z_\alpha\}=\alpha$；分位点的完整定义见[上侧分位点](/knowledge/maths/statistics/upper-tail-quantile/)。一般地，$p$ 值等于“从观测值出发、沿拒绝方向更极端”的那部分概率。若 $p\le\alpha$，则拒绝 $H_0$；连续分布中边界取不取等号不影响概率。

> [!CAUTION]
> **$p$ 值的三个常见误解**
>
> $p$ 值不是“$H_0$ 为真的概率”，也不是“结论出错的概率”，更不是效应大小的度量。它只回答“如果 $H_0$ 成立，当前数据有多不寻常”。统计显著也不等于差异在实际中足够重要，判断时还要看效应大小与置信区间。

## 探索

交互演示：尾部方向怎样影响 \$p\$ 值？。比较标准正态统计量在不同备择方向下的尾概率。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 标准正态检验统计量的观测值为 $z=2.5$，做右侧检验。已知 $\Phi(2.5)=0.9938$，$p$ 值为 \_\_\_\_\_\_（right-p）。

   答案：0.0062

   右侧 $p$ 值为 $1-\Phi(2.5)=1-0.9938=0.0062$。

2. 标准正态检验统计量的观测值为 $z=1.5$，做双侧检验。已知 $\Phi(1.5)=0.9332$，$p$ 值为 \_\_\_\_\_\_（two-sided-p）。

   答案：0.1336

   双侧 $p$ 值为 $2[1-\Phi(1.5)]=2(1-0.9332)=0.1336$。双侧要把“同样极端”的两个方向都算上，所以乘 $2$。

3. 关于 $p$ 值，下列说法正确的是

   * A.  $p$ 值是在 $H_0$ 下出现当前或更极端结果的概率
   * B.  $p$ 值越小，$H_0$ 为真的概率越小
   * C.  双侧检验要把两个方向的极端结果都计入 $p$ 值
   * D.  统计显著说明差异在实际中一定重要

   答案：A、C

   $p$ 值是给定 $H_0$ 时数据的概率，不是 $H_0$ 的后验概率；双侧检验按两个方向计算。统计显著只说明数据与 $H_0$ 不相容到一定程度，效应是否重要要另外判断。