# 配对样本均值差的置信区间

## 定义与构造

以下区间以 $1-\alpha$ 为置信水平，分位点采用[上侧分位点约定](/knowledge/maths/statistics/upper-tail-quantile/)。

同一对象上的两次测量 $X_i$ 与 $Y_i$ 可能相关；将它们化成差值

$$
D_i=X_i-Y_i,\qquad i=1,\ldots,n.
$$

若各对之间相互独立，且差值服从正态分布，则对 $\mu_D=E(D)$ 使用单样本 $t$ 区间：

$$
\mu_D\in \bar D\pm t_{\alpha/2}(n-1)\frac{S_D}{\sqrt n},
$$

其中 $\bar D$ 与 $S_D$ 是差值的样本均值与样本标准差。配对把比较化成单样本差值问题。两次测量相关时，把它们当成两个独立样本会忽略这种相关性，错误估计标准误。

## 例子

**配对样本的区间**

$10$ 对数据的差值均值为 $\bar d=1.5$，差值标准差为 $s_D=1.2$，$\alpha=0.05$，$t_{0.025}(9)=2.2622$。半宽为

$$
2.2622\times\frac{1.2}{\sqrt{10}}\approx0.858,
$$

$\mu_D$ 的 $95\%$ 区间约为 $[0.642,\ 2.358]$。区间不含 $0$，说明配对差值的均值与 $0$ 有可检出的差异。若误把两组测量当作独立样本，标准误会忽略配对相关性；偏大还是偏小取决于相关性的方向。

## 探索

交互演示：配对差值如何构成置信区间？。线段表示配对差值的总体均值区间，圆点表示样本差值均值，虚线表示零。 请在站点操作演示。