# 配对样本均值检验

## 定义

同一对象的前后测量、按特征匹配的个体对，都属于**配对设计**。两张表看起来是两组数据，但配对内的两个观测不独立，不能套用上面的独立两样本公式。

配对设计先逐对作差：

$$
D_i=X_i-Y_i,\qquad i=1,\ldots,n,
$$

其中 $n$ 是**对数**。若 $D_1,\ldots,D_n$ 相互独立且都服从正态分布，则检验均值差 $H_0:\mu_D=\Delta_0$ 就化为单个正态总体的均值检验：

$$
T=\frac{\bar D-\Delta_0}{S_D/\sqrt n}\sim t(n-1),
$$

其中 $\bar D$、$S_D$ 分别是差值样本的均值和标准差。

> [!IMPORTANT]
> **配对检验的正态性加在差值上**
>
> 配对 $t$ 检验要求的是**差值**服从正态分布，不是要求两列原始数据各自正态。配对内的两个观测可以强相关，这正是配对设计想要消掉的部分；因此差值的方差不能写成 $S_X^2+S_Y^2$，那个式子只在两组相互独立时成立。自由度按对数算，是 $n-1$，不是 $n_1+n_2-2$。

## 例子

**配对设计用差值做一元 $t$ 检验**

对 $n=9$ 对观测逐对作差，算得 $\bar d=2.0$，$s_D=2.0$。检验 $H_0:\mu_D=0$ 对 $H_1:\mu_D\ne0$，取 $\alpha=0.05$。

$$
t=\frac{\bar d-0}{s_D/\sqrt n}
=\frac{2.0}{2.0/3}=3.0,
\qquad \nu=9-1=8.
$$

临界值 $t_{0.025}(8)\approx2.306$，$3.0>2.306$，拒绝 $H_0$。这里自由度是 $8$，由对数 $9$ 决定；若误按两组独立样本处理，会写成 $n_1+n_2-2$，把自由度放大一倍，临界值也随之变小。

## 探索

交互演示：配对检验为什么先计算差值？。用配对差值的均值和标准差计算统计量。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 由 $n=12$ 对观测组成的配对样本，检验差值均值 $H_0:\mu_D=0$，所用 $t$ 统计量的自由度为 \_\_\_\_\_\_（paired-df-value）。

   答案：11

   配对检验化为一元 $t$ 检验，自由度按对数算，为 $n-1=11$。两组原始数据的独立性不成立，不能写成 $12+12-2=22$。