# 一元回归中的均值区间与预测区间

## 定义

在[一元线性回归](/knowledge/maths/statistics/simple-linear-regression/)中，设 $n>2$、$L_{xx}=\sum_i(x_i-\bar x)^2>0$，$s^2=SSE/(n-2)$，且误差独立同分布为正态，$s>0$。

在给定的 $x_0$ 处，点预测为

$$
\hat y_0=\hat\beta_0+\hat\beta_1x_0.
$$

条件均值 $E(Y\mid x_0)$ 的 $1-\alpha$ 置信区间为

$$
\hat y_0\pm t_{\alpha/2}(n-2)s\sqrt{\frac1n+\frac{(x_0-\bar x)^2}{L_{xx}}}.
$$

设新个体 $Y_0$ 与已有观测独立，在 $x_0$ 处服从同一线性模型且误差方差仍为 $\sigma^2$，则它的预测区间为

$$
\hat y_0\pm t_{\alpha/2}(n-2)s\sqrt{1+\frac1n+\frac{(x_0-\bar x)^2}{L_{xx}}}.
$$

预测区间根号内多出的 $1$ 对应新个体自身的随机波动，所以同一位置上的预测区间总比均值响应区间宽。两种区间都在 $x_0$ 远离 $\bar x$ 时变宽。

若 $x_0$ 超出观测到的 $x$ 范围，公式仍按同一条直线外推，但线性关系在范围外是否成立没有任何数据支持；外推结论要比内插结论弱得多。

## 探索

交互演示：均值区间与个体预测区间为什么不同？。比较不同位置上的两种区间宽度。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 在同一个 $x_0$ 处，若置信水平相同，关于条件均值的置信区间与独立新个体的预测区间，下列叙述正确的是

   * A.  两者宽度总是相同
   * B.  预测区间更宽
   * C.  均值响应区间更宽
   * D.  两者宽度大小完全由 $R^2$ 决定

   答案：B

   预测区间的标准误在根号内多一个 $1$，对应新个体自身的随机波动，因此更宽。