# 一元回归斜率的推断

## 定义

在[一元线性回归](/knowledge/maths/statistics/simple-linear-regression/)中，设 $n>2$、$L_{xx}=\sum_i(x_i-\bar x)^2>0$，$s^2=SSE/(n-2)$，且误差独立同分布为正态，$s>0$。

以下结论都在正态误差模型下成立；$t$ 分布与上侧分位点的定义见[上侧分位点](/knowledge/maths/statistics/upper-tail-quantile/)。估计量的方差为

$$
D(\hat\beta_1)=\frac{\sigma^2}{L_{xx}},\qquad
D(\hat\beta_0)=\sigma^2\left(\frac1n+\frac{\bar x^2}{L_{xx}}\right).
$$

用 $s^2$ 代替 $\sigma^2$ 后，斜率的 $1-\alpha$ 置信区间为

$$
\hat\beta_1\pm t_{\alpha/2}(n-2)\frac{s}{\sqrt{L_{xx}}},
$$

其中 $s=\sqrt{s^2}$，$t_{\alpha/2}(n-2)$ 是自由度为 $n-2$ 的 $t$ 分布上侧 $\alpha/2$ 分位点。

检验 $H_0:\beta_1=\beta_{1,0}$ 时，使用统计量

$$
T=\frac{\hat\beta_1-\beta_{1,0}}{s/\sqrt{L_{xx}}}\sim t(n-2),
$$

双侧拒绝域为 $|T|>t_{\alpha/2}(n-2)$。

对 $H_0:\beta_1=0$，也可以用

$$
F=\frac{SSR}{SSE/(n-2)}\sim F(1,n-2),
$$

并且 $F=T^2$。对同一个原假设，单侧 $F$ 检验与双侧 $t$ 检验给出相同的结论。

## 探索

交互演示：斜率区间与双侧检验如何对应？。比较斜率区间与零的位置。 请在站点操作演示。