# 简单随机样本

## 定义

**总体**是研究对象的某个数量特征，用一个随机变量 $X$ 的分布描述。总体的分布通常未知，但假定它有确定的分布函数 $F$，并记其均值与方差为 $\mu$ 与 $\sigma^2$（方差在本页记作 $D(X)$，有的书写作 $\operatorname{Var}(X)$）。

**简单随机样本**（简称样本）是一组随机变量 $X_1,X_2,\ldots,X_n$，满足

1. $X_1,X_2,\ldots,X_n$ 相互独立；
2. 每个 $X_i$ 都与总体 $X$ 同分布。

$n$ 称为样本容量。两条条件都不能省：同分布保证每个 $X_i$ 携带的是关于同一个总体的信息，所以 $E(X_i)=\mu$、$D(X_i)=\sigma^2$；独立性保证联合分布等于各边缘分布之积，当总体分布函数为 $F$ 时

$$
F_{X_1,\ldots,X_n}(x_1,\ldots,x_n)=\prod_{i=1}^nF(x_i).
$$

试验完成后得到的具体数值 $x_1,\ldots,x_n$ 称为**样本观测值**。样本是随机变量，观测值是数：抽样前 $\bar X$ 与 $S^2$ 是随机变量，可以求分布、求期望；抽样后 $\bar x$ 与 $s^2$ 是确定的数，是估计值。凡求分布、求期望都用大写记号，凡由数据算出的估计值都用小写记号。

> [!WARNING]
> **不放回抽样不满足独立性**
>
> 有限总体的不放回抽样中，各次抽到的结果彼此影响，$X_1,\ldots,X_n$ 不独立，未经说明不能直接套用要求独立性的公式。总体很大、样本容量相对很小时，常把不放回抽样近似当作独立样本处理，这是一个需要写明的近似。

## 探索

交互演示：抽样后是否放回会怎样影响下一次？。比较已知第一次结果时第二次抽红球的概率。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 关于简单随机样本 $X_1,\ldots,X_n$，下列叙述正确的是

   * A.  $X_1,\ldots,X_n$ 相互独立
   * B.  每个 $X_i$ 都与总体同分布
   * C.  样本容量必须不小于 $30$
   * D.  每个 $X_i$ 的期望都等于总体均值

   答案：A、B、D

   简单随机样本由“相互独立”与“同分布”两条定义，与样本容量无关；同分布保证 $E(X_i)=\mu$。容量 $30$ 只是某些大样本近似中的经验门槛，不是样本的定义要求。