# 正态总体的抽样分布

## 定义

统计量在重复抽样下的概率分布称为抽样分布。对独立正态样本，样本均值、样本方差及其组合有以下精确分布。

## 性质

### 单个正态总体

设 $X_1,\ldots,X_n$ 是来自 $N(\mu,\sigma^2)$ 的简单随机样本（样本与统计量的记号见[简单随机样本](/knowledge/maths/statistics/sample-statistic/)与[统计量](/knowledge/maths/statistics/statistics/)），$n\ge2$，则

$$
\bar X\sim N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right),\qquad
\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1),
$$

并且 $\bar X$ 与 $S^2$ 相互独立，于是

$$
\frac{\bar X-\mu}{S/\sqrt n}\sim t(n-1).
$$

**证明**

令 $Z_i=\dfrac{X_i-\mu}{\sigma}$，则 $Z_1,\ldots,Z_n$ 相互独立，都服从 $N(0,1)$。取一个 $n$ 阶正交矩阵 $A$，使其第一行为 $\left(\frac1{\sqrt n},\ldots,\frac1{\sqrt n}\right)$，并令 $Y=AZ$。

正交变换保持平方和，也把独立标准正态变量变成独立标准正态变量，所以 $Y_1,\ldots,Y_n$ 仍相互独立且都服从 $N(0,1)$。其中

$$
Y_1=\frac1{\sqrt n}\sum_{i=1}^nZ_i=\sqrt n\,\bar Z,
$$

而平方和满足

$$
\sum_{i=1}^nY_i^2=\sum_{i=1}^nZ_i^2
=\sum_{i=1}^n\frac{(X_i-\mu)^2}{\sigma^2}.
$$

于是

$$
\sum_{i=2}^nY_i^2=\sum_{i=1}^nZ_i^2-n\bar Z^2
=\sum_{i=1}^n(Z_i-\bar Z)^2
=\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}.
$$

右端是 $n-1$ 个独立标准正态变量的平方和，故服从 $\chi^2(n-1)$。又因 $Y_1$ 与 $Y_2,\ldots,Y_n$ 独立，$\bar X$（只由 $Y_1$ 决定）与 $S^2$（只由 $Y_2,\ldots,Y_n$ 决定）也相互独立。

最后把 $t$ 分布的定义套用上去。记

$$
Z=\frac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt n},\qquad
U=\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2},
$$

则 $Z\sim N(0,1)$，$U\sim\chi^2(n-1)$，且两者独立，而

$$
\frac{\bar X-\mu}{S/\sqrt n}=\frac{Z}{\sqrt{U/(n-1)}}.
$$

按 $t$ 分布的定义，这个比值服从 $t(n-1)$。

自由度为 $n-1$，是因为 $n$ 个离差 $X_i-\bar X$ 受约束 $\sum_i(X_i-\bar X)=0$ 的限制，只有 $n-1$ 个可以自由变动。若把中心改为**已知**的 $\mu$，就没有这个约束，结论变为

$$
\frac{\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n).
$$

> [!IMPORTANT]
> **正态性是这些结论的前提**
>
> $\bar X\sim N(\mu,\sigma^2/n)$、$(n-1)S^2/\sigma^2\sim\chi^2(n-1)$、$\bar X$ 与 $S^2$ 独立，都要求总体服从正态分布。它们不是大样本近似：总体非正态时，$\bar X$ 只在 $n$ 很大时才近似正态，而 $S^2$ 的卡方结论对非正态性较敏感，不能直接沿用。均值与方差的无偏性 $E(\bar X)=\mu$、$E(S^2)=\sigma^2$ 则不需要正态性。

### 两个独立正态样本

设 $X_1,\ldots,X_{n_1}$ 来自 $N(\mu_1,\sigma_1^2)$，$Y_1,\ldots,Y_{n_2}$ 来自 $N(\mu_2,\sigma_2^2)$，两个样本相互独立。由单个正态总体的结论，两组样本方差各自给出一个卡方变量，二者独立，相除并按自由度归一后得

$$
\frac{S_1^2/\sigma_1^2}{S_2^2/\sigma_2^2}\sim F(n_1-1,n_2-1).
$$

若进一步假定两个总体的方差相等，记公共方差为 $\sigma^2$，则可把两组信息合成**合并方差**

$$
S_p^2=\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2},
$$

它是一个以 $\sigma^2$ 为期望的加权平均，权重是各自的自由度。此时

$$
\frac{\bar X-\bar Y-(\mu_1-\mu_2)}{S_p\sqrt{\dfrac1{n_1}+\dfrac1{n_2}}}\sim t(n_1+n_2-2).
$$

自由度是两个样本自由度之和 $(n_1-1)+(n_2-1)=n_1+n_2-2$。

> [!CAUTION]
> **合并 $t$ 的适用条件**
>
> 上式同时要求：两个样本相互独立、两个总体都服从正态分布、两个总体方差相等。方差不等时不能用 $S_p^2$，应改用不假定方差相等的近似方法。非正态总体下的大样本近似也不能当作这里的精确结论。

## 例子

**查表前先确认自由度**

容量 $n=10$ 的正态样本，$\sigma$ 未知时用

$$
\frac{\bar X-\mu}{S/\sqrt{10}}\sim t(9),
$$

自由度是 $n-1=9$ 而不是 $10$；若误用 $10$，查出的分位点会偏小，区间偏窄。$n$ 越大两个自由度的差别越小，但结论本身要求用 $n-1$。

两个样本的情形：$n_1=6$、$n_2=11$，方差相等时合并 $t$ 的自由度为 $5+10=15$。若只做方差比的检验，则统计量服从 $F(5,10)$，两个自由度按“分子在前、分母在后”的顺序写。

## 探索

交互演示：样本量如何影响样本均值的分布？。查看正态总体下样本均值的理论方差。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 取容量 $n=9$ 的正态样本，则 $\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$ 服从的卡方分布的自由度为 \_\_\_\_\_\_（df-value）。

   答案：8

   自由度为 $n-1=8$。中心用的是样本均值 $\bar X$，占用了一个约束 $\sum_i(X_i-\bar X)=0$，所以比 $n$ 少 $1$。

2. 两个独立正态样本的容量分别为 $n_1=11$ 与 $n_2=16$，总体方差相等，则合并 $t$ 统计量的自由度为 \_\_\_\_\_\_（pooled-df-value）。

   答案：25

   自由度为 $n_1+n_2-2=11+16-2=25$，也就是 $(11-1)+(16-1)$。

3. 下列叙述正确的是

   * A.  卡方分布只在非负半轴取值
   * B.  $F$ 分布的密度关于零对称
   * C.  $t$ 分布的密度关于零对称
   * D.  $\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)$ 要求总体服从正态分布

   答案：A、C、D

   卡方与 $F$ 都只在非负半轴取值且不对称，只有 $t$ 分布关于零对称。卡方结论依赖正态总体；方差的无偏性 $E(S^2)=\sigma^2$ 才不需要正态性。