# 统计量与样本特征

## 定义

**统计量**是样本的函数

$$
T=T(X_1,\ldots,X_n),
$$

并且 $T$ 的表达式中不含任何未知的总体参数。$\bar X$、$\sum_{i=1}^nX_i^2$、$\max_iX_i$ 都是统计量；若 $\mu$ 未知，则 $\bar X-\mu$ 不是统计量，因为它无法只由样本算出数值。

统计量的分布称为**抽样分布**，它是统计推断的基础，具体结论见[抽样分布](/knowledge/maths/statistics/sampling-distributions/)。

> [!NOTE]
> **枢轴量与统计量的区别**
>
> 用于区间估计的**枢轴量**允许含有未知参数，但它的分布不能依赖这些未知参数。正态样本的 $(\bar X-\mu)/(S/\sqrt n)$ 含未知参数 $\mu$，但服从 $t(n-1)$，与 $\mu$、$\sigma^2$ 的取值无关，所以它是枢轴量而不是统计量。

## 性质

### 常用样本特征

样本均值与样本方差分别为

$$
\bar X=\frac1n\sum_{i=1}^nX_i,\qquad
S^2=\frac1{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2,\qquad n\ge2.
$$

样本方差另有一个只用原始平方和的算法：

$$
S^2=\frac{\sum_{i=1}^nX_i^2-n\bar X^2}{n-1}.
$$

样本的 $k$ 阶原点矩与 $k$ 阶中心矩分别为

$$
A_k=\frac1n\sum_{i=1}^nX_i^k,\qquad
B_k=\frac1n\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^k.
$$

> [!CAUTION]
> **$B_2$ 与 $S^2$ 的分母不同**
>
> $B_2$ 的分母是 $n$，$S^2$ 的分母是 $n-1$，二者相差因子 $(n-1)/n$，即 $B_2=\dfrac{n-1}{n}S^2$。手写答案时不要顺手把 $B_2$ 的分母改成 $n-1$，它就不再是二阶中心矩了。

### 样本均值与方差的期望

设总体均值与方差分别为 $\mu$ 与 $\sigma^2$，样本为简单随机样本，则

$$
E(\bar X)=\mu,\qquad
D(\bar X)=\frac{\sigma^2}{n},\qquad
E(S^2)=\sigma^2.
$$

三式都只要求总体的均值与方差存在，即 $E|X|<\infty$ 且 $D(X)<\infty$，都不要求总体服从正态分布。

**证明**

**样本均值**

由同分布，$E(X_i)=\mu$，再由期望的线性性质，

$$
E(\bar X)=\frac1n\sum_{i=1}^nE(X_i)=\frac1n\cdot n\mu=\mu.
$$

由独立性，和的方差等于方差之和，

$$
D(\bar X)=\frac1{n^2}\sum_{i=1}^nD(X_i)=\frac1{n^2}\cdot n\sigma^2=\frac{\sigma^2}{n}.
$$

这里用到独立性；$D(\bar X)=\sigma^2/n$ 是样本容量增大后均值更稳定的定量表述。

**样本方差**

先展开离差平方和。把 $X_i-\bar X$ 写成 $(X_i-\mu)-(\bar X-\mu)$，并利用 $\sum_i(X_i-\mu)=n(\bar X-\mu)$ 合并交叉项，得

$$
\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2
=\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2-n(\bar X-\mu)^2.
$$

两边取期望：由同分布，$E\left[\sum_i(X_i-\mu)^2\right]=n\sigma^2$；由上面已证的 $E(\bar X)=\mu$ 与 $D(\bar X)=\sigma^2/n$，$E\left[(\bar X-\mu)^2\right]=\sigma^2/n$。于是

$$
E\left[\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2\right]=n\sigma^2-n\cdot\frac{\sigma^2}{n}=(n-1)\sigma^2,
$$

除以 $n-1$ 得 $E(S^2)=\sigma^2$。

分母取 $n-1$ 而不是 $n$，正是为了让 $S^2$ 的期望恰好等于 $\sigma^2$；若用 $B_2$，则

$$
E(B_2)=\frac{n-1}{n}\sigma^2,
$$

系统性地偏小。

> [!IMPORTANT]
> **无偏的是 $S^2$，不是 $S$**
>
> $E(S^2)=\sigma^2$ 并不推出 $E(S)=\sigma$。开方不是线性运算，通常 $E(S)<\sigma$，即样本标准差是总体标准差的有偏估计。看到“标准差的无偏估计”时不能默认是 $S$。

## 例子

**一组数据的样本特征**

某样本的观测值为 $2,4,4,6,9$，$n=5$。样本均值为

$$
\bar x=\frac{2+4+4+6+9}{5}=\frac{25}{5}=5.
$$

离差为 $-3,-1,-1,1,4$，平方和为 $9+1+1+1+16=28$，于是

$$
s^2=\frac{28}{5-1}=7,\qquad
B_2=\frac{28}{5}=5.6.
$$

两者满足 $B_2=\frac{4}{5}\times7=5.6$，与 $B_2=\frac{n-1}{n}S^2$ 一致。经验分布函数在 $x=4$ 处的值为 $F_n(4)=\frac35$，因为不超过 $4$ 的观测值有三个。

**判断哪些表达式是统计量**

设总体 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$，其中 $\mu$、$\sigma^2$ 都未知，$X_1,\ldots,X_n$ 为样本。

* $\bar X$、$S^2$、$\max_iX_i$、$\sum_iX_i^2$ 只用到样本，都是统计量；
* $\bar X-\mu$ 含未知的 $\mu$，不是统计量；
* $S^2/\sigma^2$ 含未知的 $\sigma^2$，不是统计量；但它的分布不含任何未知参数，所以是枢轴量，可用它构造 $\sigma^2$ 的区间估计。

## 探索

交互演示：样本方差和二阶中心矩的分母有什么不同？。改变一个观测值，对照样本特征。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 某样本的观测值为 $1,2,3,4,5$，则样本均值 $\bar x=$ \_\_\_\_\_\_（mean-value）。

   答案：3

   $\bar x=\dfrac{1+2+3+4+5}{5}=3$。

2. 仍取观测值 $1,2,3,4,5$。

   1. 样本方差 $s^2=$ \_\_\_\_\_\_（variance-value）。

      答案：2.5

      离差为 $-2,-1,0,1,2$，平方和为 $4+1+0+1+4=10$，故 $s^2=\dfrac{10}{5-1}=2.5$。

   2. 二阶中心矩 $B_2=$ \_\_\_\_\_\_（central-moment-value）。

      答案：2

      $B_2$ 的分母是 $n=5$，故 $B_2=\dfrac{10}{5}=2$，等于 $\dfrac45\times2.5$。

3. 设总体服从 $N(\mu,\sigma^2)$，其中 $\mu$ 与 $\sigma^2$ 都未知。下列表达式中是统计量的是

   * A.  $\bar X$
   * B.  $\bar X-\mu$
   * C.  $\max_iX_i$
   * D.  $S^2/\sigma^2$
   * E.  $\sum_{i=1}^nX_i^2$

   答案：A、C、E

   统计量只能含样本，不能含未知参数。$\bar X-\mu$ 与 $S^2/\sigma^2$ 分别含未知的 $\mu$ 与 $\sigma^2$，因此不是统计量。

4. 总体方差 $\sigma^2=9$，取容量为 $10$ 的简单随机样本，则 $E(S^2)=$ \_\_\_\_\_\_（unbiased-value）。

   答案：9

   $S^2$ 是 $\sigma^2$ 的无偏估计，$E(S^2)=\sigma^2=9$，与样本容量无关。