# $t$ 分布

## 定义

设 $Z\sim N(0,1)$，$U\sim\chi^2(\nu)$，且 $Z$ 与 $U$ 相互独立，则

$$
T=\frac{Z}{\sqrt{U/\nu}}\sim t(\nu).
$$

$t$ 分布的密度关于零对称，所以 $t_{1-\alpha}(\nu)=-t_\alpha(\nu)$；自由度增大时它趋近于标准正态，通常 $\nu>30$ 就可用正态近似。

它的矩要按自由度分别讨论：

* $\nu>1$ 时 $E(T)=0$；
* $\nu>2$ 时 $D(T)=\dfrac{\nu}{\nu-2}$；
* $\nu\le1$ 时期望不存在，$\nu=1$ 的 $t$ 分布就是柯西分布；
* $1<\nu\le2$ 时期望存在但方差不存在。

所以小自由度时不能套用不存在的矩，写 $D(T)=\nu/(\nu-2)$ 之前先确认 $\nu>2$。

## 例子

**t分布的矩要按自由度讨论**

设 $T\sim t(5)$，则 $\nu=5>2$，故 $E(T)=0$，$D(T)=\dfrac{5}{5-2}=\dfrac53$。

若 $T\sim t(2)$，$\nu=2$ 不满足 $\nu>2$，方差不存在，只有 $E(T)=0$。写 $D(T)=\dfrac{2}{0}$ 这样的式子没有意义：$\nu\le2$ 时不能用方差描述 $T$ 的离散程度，也不要在此基础上套用正态近似。

若 $T\sim t(1)$，它是柯西分布，连期望都不存在；这正是[数学期望](/knowledge/maths/probability/expectation/)中那个“密度关于零对称但期望不存在”的例子。

## 探索

交互演示：t变量由哪两个随机量构造？。改变标准正态值、卡方值与自由度。 请在站点操作演示。