# 假设检验中的错误与功效

## 定义

检验的结论可能与真实情况不符，有两种错误：

* **第一类错误**：$H_0$ 为真却拒绝了 $H_0$，也称“弃真”。其概率通常记为 $\alpha$，由显著性水平控制。
* **第二类错误**：$H_0$ 为假却没有拒绝 $H_0$，也称“取伪”。其概率记为 $\beta(\theta)$，依赖真实的参数值 $\theta$。
* **功效**：$1-\beta(\theta)$，即 $H_0$ 为假时正确拒绝的概率。真实参数离 $\theta_0$ 越远，功效通常越高。

在复合原假设 $H_0:\theta\in\Theta_0$ 下，“水平为 $\alpha$”的准确含义是对所有 $\theta\in\Theta_0$ 都有

$$
\sup_{\theta\in\Theta_0}P_\theta\{\text{拒绝 }H_0\}\le\alpha,
$$

即最坏情形下的第一类错误概率不超过 $\alpha$。

固定样本量时，减小第一类错误通常会使第二类错误增大：把拒绝门槛收紧，真正有差异时也更难拒绝。增加样本量可以在保持 $\alpha$ 不变的前提下降低 $\beta$，提高对固定差异的检验功效。

## 探索

交互演示：两类错误分别发生在什么情况下？。组合真实状态与检验决策。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 关于两类错误，下列说法正确的是

   * A.  第一类错误是 $H_0$ 为真却拒绝 $H_0$
   * B.  第二类错误是 $H_0$ 为真却未拒绝 $H_0$
   * C.  功效是犯第一类错误的概率
   * D.  固定样本量时，减小 $\alpha$ 一定同时减小第二类错误的概率

   答案：A

   第二类错误是 $H_0$ 为假却未拒绝；功效是 $1-\beta(\theta)$，不是第一类错误的概率；固定样本量时两类错误通常此消彼长。