# 两个独立正态总体均值差检验

## 定义

设两组样本分别独立取自正态总体 $N(\mu_1,\sigma_1^2)$、$N(\mu_2,\sigma_2^2)$，样本量为 $n_1,n_2$，样本均值和方差分别记为 $\bar X,\bar Y,S_1^2,S_2^2$。检验以第一组减第二组或第一组除第二组的顺序书写。

## 性质

标准误怎么算，取决于两个总体的方差是否已知、是否假定相等。三种情形依次削弱条件。

### 两总体方差已知

两个 $\sigma$ 都是已知常数，用

$$
Z=\frac{\bar X-\bar Y-\Delta_0}
{\sqrt{\sigma_1^2/n_1+\sigma_2^2/n_2}}\sim N(0,1).
$$

分母是两个样本均值各自标准误的平方和再开方：$\bar X$ 的标准误为 $\sigma_1/\sqrt{n_1}$，$\bar Y$ 的标准误为 $\sigma_2/\sqrt{n_2}$，独立样本的方差可以直接相加。

### 方差未知但假定相等

此时两个总体方差相等，记公共方差为 $\sigma^2$，可以用两组信息合成**合并方差**

$$
S_p^2=\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2},
$$

再用它代替未知的 $\sigma^2$：

$$
T=\frac{\bar X-\bar Y-\Delta_0}
{S_p\sqrt{\dfrac1{n_1}+\dfrac1{n_2}}}\sim t(n_1+n_2-2).
$$

> [!IMPORTANT]
> **合并方差按自由度加权**
>
> $S_p^2$ 的权重是各自的自由度 $n_i-1$，不是简单平均 $\dfrac{S_1^2+S_2^2}{2}$。只有两个样本容量相等时，两种算法才碰巧相同。自由度 $n_1+n_2-2$ 也正是两个样本自由度之和 $(n_1-1)+(n_2-1)$，这一分布结论同时要求两个总体正态且方差相等。

### 方差未知且不假定相等：Welch检验

不假定方差相等时，分母只能直接拼两个样本方差：

$$
T_W=\frac{\bar X-\bar Y-\Delta_0}
{\sqrt{S_1^2/n_1+S_2^2/n_2}}\approx t(\nu),
$$

$$
\nu=\frac{\left(S_1^2/n_1+S_2^2/n_2\right)^2}
{\dfrac{\left(S_1^2/n_1\right)^2}{n_1-1}
+\dfrac{\left(S_2^2/n_2\right)^2}{n_2-1}}.
$$

例如 $n_1=n_2=10$、$S_1^2=8$、$S_2^2=2$ 时，$S_1^2/n_1=0.8$、$S_2^2/n_2=0.2$，于是

$$
\nu=\frac{(0.8+0.2)^2}{0.8^2/9+0.2^2/9}
=\frac{1}{0.68/9}\approx13.2,
$$

比方差相等时假定的 $n_1+n_2-2=18$ 小得多。两组样本方差和样本量共同影响这个近似自由度。

> [!NOTE]
> **Welch的自由度是近似**
>
> $t(\nu)$ 中的 $\nu$ 由样本方差算出，本身是随机量，所以这个 $t$ 分布只是近似分布。软件一般直接使用非整数自由度；手工查表时要取相邻的整数自由度，并说明这是近似处理。若两个样本方差看起来相差不大，改用合并 $t$ 检验同样需要先说明“方差相等”这一假定。

### 拒绝域

三种情形只是统计量和自由度不同，拒绝域的形状一致。下表以 $t(\nu)$ 为例，$\nu$ 取 $n_1+n_2-2$（合并 $t$）或Welch自由度；方差已知的 $Z$ 情形把 $t_\alpha(\nu)$ 换成 $z_\alpha$，$\nu$ 不再出现。

| 备择假设                     | 拒绝域                                    |
| :----------------------- | :------------------------------------- |
| $\mu_1-\mu_2\ne\Delta_0$ | $\lvert T\rvert>t_{\alpha/2}(\nu)$     |
| $\mu_1-\mu_2>\Delta_0$   | $T>t_{\alpha}(\nu)$                    |
| $\mu_1-\mu_2<\Delta_0$   | $T<t_{1-\alpha}(\nu)=-t_{\alpha}(\nu)$ |

> [!WARNING]
> **顺序与方向要一起固定**
>
> 分子写成 $\bar X-\bar Y-\Delta_0$ 时，备择假设 $\mu_1-\mu_2>\Delta_0$ 对应右尾；若把分子改成 $\bar Y-\bar X-\Delta_0$，右尾对应的备择就变成 $\mu_2-\mu_1>\Delta_0$。两种写法本身都对，但必须在同一道题里保持一致，不能只改分子不改方向。

## 例子

**合并 $t$ 检验：两个独立样本的均值差**

两组独立正态样本，$n_1=n_2=10$，$\bar x=12.4$，$\bar y=10.0$，$s_1^2=s_2^2=5$。检验 $H_0:\mu_1=\mu_2$ 对 $H_1:\mu_1\ne\mu_2$，取 $\alpha=0.05$。

合并方差为

$$
S_p^2=\frac{9\times5+9\times5}{18}=5,
$$

标准误 $S_p\sqrt{1/10+1/10}=\sqrt5\cdot\sqrt{0.2}=1$，于是

$$
t=\frac{12.4-10.0-0}{1}=2.4.
$$

自由度 $\nu=10+10-2=18$，临界值 $t_{0.025}(18)\approx2.101$。因为 $2.4>2.101$，拒绝 $H_0$，认为两组均值不相等。

## 探索

交互演示：两个独立样本的均值差如何标准化？。计算方差已知时的双侧Z检验。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 两个独立正态样本的容量分别为 $n_1=8$ 和 $n_2=10$，假定两总体方差相等。合并 $t$ 统计量服从的 $t$ 分布的自由度为 \_\_\_\_\_\_（pooled-df-value）。

   答案：16

   自由度为 $n_1+n_2-2=8+10-2=16$，也就是 $(8-1)+(10-1)$。

2. 两组样本容量都是 $6$，样本方差分别为 $s_1^2=4$ 和 $s_2^2=9$，假定两总体方差相等。合并方差 $S_p^2=$ \_\_\_\_\_\_（pooled-variance-value）。

   答案：6.5

   $$
   S_p^2=\frac{(6-1)\times4+(6-1)\times9}{6+6-2}
   =\frac{20+45}{10}=6.5.
   $$

   权重是各自的自由度 $5$。这里两个容量相等，加权平均与简单平均 $(4+9)/2=6.5$ 恰好同值；容量不等时两者不同，直接把两个样本方差取算术平均就会算错。

3. 使用合并 $t$ 检验比较两个独立样本的均值差，需要满足的条件包括

   * A.  两个样本相互独立
   * B.  两个总体都服从正态分布
   * C.  两个总体方差相等
   * D.  两个样本容量相等

   答案：A、B、C

   合并方差 $S_p^2$ 以“两个总体方差相同”为前提，$t(n_1+n_2-2)$ 的结论还要求两总体正态、两样本独立。容量相等只是让 $S_p^2$ 退化为简单平均的特例，不是使用合并 $t$ 的条件；容量不等时仍可用合并 $t$（方差相等时）或Welch检验（方差不等时）。

4. 与合并 $t$ 检验相比，Welch检验的特点是

   * A.  假定两总体方差相等，因此自由度更大
   * B.  不假定两总体方差相等，使用近似自由度，该自由度可能不是整数
   * C.  不需要两个样本相互独立
   * D.  统计量服从自由度为 $n_1+n_2-2$ 的精确 $t$ 分布

   答案：B

   Welch统计量的分母直接拼两个样本方差，不引入合并方差，自由度由样本方差算出，是近似值，可能为 $13.2$ 这样的非整数。它仍然要求两个样本相互独立；自由度也不是精确的 $n_1+n_2-2$。