# 上侧分位点

## 定义

设 $0<\alpha<1$。对随机变量 $W$，若 $w_\alpha$ 满足

$$
P\{W>w_\alpha\}=\alpha,
$$

则称 $w_\alpha$ 为 $W$ 的**上 $\alpha$ 分位点**：它右侧的尾概率恰为 $\alpha$。本页用到的四个记号是

$$
P\{Z>z_\alpha\}=\alpha,\qquad
P\{T>t_\alpha(\nu)\}=\alpha,
$$

$$
P\{U>\chi^2_\alpha(\nu)\}=\alpha,\qquad
P\{V>F_\alpha(\nu_1,\nu_2)\}=\alpha,
$$

其中 $Z\sim N(0,1)$，$T\sim t(\nu)$，$U\sim\chi^2(\nu)$，$V\sim F(\nu_1,\nu_2)$。$\alpha$ 越小，上侧分位点越大，因为要让右侧只剩更小的概率，分位点必须往右移。

双侧区间估计通常把显著性水平分到两侧，各占 $\alpha/2$ 的尾概率，于是用到 $z_{\alpha/2}$ 与 $z_{1-\alpha/2}$ 这样的两个点。

对关于零对称的分布，上侧分位点可以直接换成负号：

$$
z_{1-\alpha}=-z_\alpha,\qquad
t_{1-\alpha}(\nu)=-t_\alpha(\nu).
$$

例如 $z_{0.975}=-z_{0.025}$，因为标准正态的密度关于零对称。

> [!WARNING]
> **卡方与F不能靠对称性换算**
>
> 卡方分布只在非负半轴取值，$F$ 分布也不对称，都没有 $z_{1-\alpha}=-z_\alpha$ 这样的等式。$\chi^2_{1-\alpha}(\nu)$ 由 $P\{U>\chi^2_{1-\alpha}(\nu)\}=1-\alpha$ 定义，等价于 $P\{U\le\chi^2_{1-\alpha}(\nu)\}=\alpha$，它是分布的左侧分位点，只能另外查表或在表中按累积概率定位。$F$ 分布可以借助倒数关系换算：
>
> $$
> F_\alpha(\nu_1,\nu_2)=\frac{1}{F_{1-\alpha}(\nu_2,\nu_1)},
> $$
>
> 但两个自由度必须同时交换位置。

## 探索

交互演示：右尾概率怎样确定上侧分位点？。对照几个标准正态上侧分位点。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 已知标准正态分布的上 $0.025$ 分位点为 $z_{0.025}=1.96$，则 $z_{0.975}=$ \_\_\_\_\_\_（z-lower）。

   答案：-1.96

   标准正态关于零对称，$z_{1-\alpha}=-z_\alpha$，故 $z_{0.975}=-z_{0.025}=-1.96$。