# 正态总体方差比的置信区间

## 定义与构造

以下区间以 $1-\alpha$ 为置信水平，分位点采用[上侧分位点约定](/knowledge/maths/statistics/upper-tail-quantile/)。

设 $X_1,\ldots,X_{n_1}$ 与 $Y_1,\ldots,Y_{n_2}$ 分别来自 $N(\mu_1,\sigma_1^2)$ 与 $N(\mu_2,\sigma_2^2)$，两个样本相互独立，$n_1,n_2\ge2$，样本均值与样本方差记为

$$
\bar X,\ \bar Y,\ S_1^2,\ S_2^2,
$$

其中 $S_i^2$ 的分母是 $n_i-1$。下面把区间写成“中心 $\pm$ 半宽”，$\pm$ 表示闭区间的两个端点。

由 $\dfrac{S_1^2/\sigma_1^2}{S_2^2/\sigma_2^2}\sim F(n_1-1,n_2-1)$ 得

$$
\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}\in\left[\frac{S_1^2/S_2^2}{F_{\alpha/2}(n_1-1,n_2-1)},\ \frac{S_1^2/S_2^2}{F_{1-\alpha/2}(n_1-1,n_2-1)}\right].
$$

这个区间不要求两个总体方差相等，只要求样本独立且都来自正态总体。$F$ 分布不对称，两个分位点不能交换；$F_{1-\alpha/2}$ 可用 $\dfrac{1}{F_{\alpha/2}(n_2-1,n_1-1)}$ 换算，但两个自由度要同时交换位置。

## 探索

交互演示：方差比区间如何使用F分位点？。对数刻度上的方差比区间，圆点是样本方差比，虚线表示一。 请在站点操作演示。

## 练习

1. 两个独立正态样本的容量都是 $10$，$\sigma_1^2/\sigma_2^2$ 的置信区间使用 $F$ 分布。两个自由度为

   * A.  $F(10,10)$
   * B.  $F(9,9)$
   * C.  $F(18,18)$
   * D.  $F(9,10)$

   答案：B

   方差比的枢轴量为 $\dfrac{S_1^2/\sigma_1^2}{S_2^2/\sigma_2^2}\sim F(n_1-1,n_2-1)$，两个自由度都是 $10-1=9$。